Dm Mpsi : Imo 1977

[Dubble]

Bonsoir.
Voici le problème :
Le but de cet exo est de déterminer l'ensemble E des applications de N dans N qui vérifient :
f rond f(n) < f(n+1) (c'est P(n))
Dp est l'ensemble des naturels supérieurs à p.

1) On considère f € E. Montrer que pour tout entier p, Dp est stable par f (??)
2) En déduire que f est strictement croissante et que pour tout entier naturel n f(n) < n+1
3) Conclure
Pour la 3 : f=n, f=n-1, etc.. c'est ca?
Comment je montre que si q est supérieur à p, f(q) est supérieur à p, en sachant que f(f(q)) est inférieur à f(q+1) ???

Je montre que Dp est stable par f par récurrence. Comment faire l'hérédité ? Comment procéder autrement ?
Merci de votre aide.

[windows7]

salut

soit p dans IN

supposons f(Dp) non inclus dans Dp, on prend le plus petit x de Dp tq f(x) n'est pas dans Dp, en particulier on aurait x>p et f(x)

tu aurais f(x-1) > p.

soit
i) f(x-1) different de x auquel cas tu as directement fof(x-1) < f(x) < p

donc f(x-1) n'est pas dans Dp => contradiction


ii) f(x-1)=x, cas trivial ..


de la tu saurai montrer la croissance de f ?

[Dubble]

Non, c'est justement ca qui me pose problème. J'ai trouvé la démo par récurrence que Dp est stable par f.
Edit : j'ai dit que Df(n) est stable par f, et f(n) <= f(n).
Donc fof(n)<=f(n), et on sait que f(n+1)>fof(n).
Donc f(n+1)>f(n), c'est tout bon ?
Je peux appliquer f-1 à l'inégalité f(n+1)>fof(n) ??

[windows7]

salut

t'as fais une faute en ecrivant mais c'est juste Df(n) est stable par f
donc f(f(n)) > f(n)
d'ou f(n+1)>f(n) .

ensuite c'est simple de montrer f(n) < n+1