Morphisme d'anneaux, de corps

[Anonyme]

Bonjour,

Soient A et B 2 anneaux et f une application de A vers B. Je connais les cditions pr que f soit 1 morphisme d'anneaus de A sur B, ms faut-il absolument que A et B soient munis des memes LCI???
Meme question, pr les morphisme de corps.
merci

[Nightmare]

Non bien sur que non, les lois peuvent différer.

Je n'ai pas d'exemple sous la main, j'en cherche un

:happy3:
jord

[RadarX]

ben un exemple simple (mais il y en a des tonnes)
f: Z -------> A ou A est n'importe quel anneau.
f(n)=1 + ... + 1 (n fois, si n>0)
f(n)= 0 (si n=0)
f(n)=(-1) + ... + (-1) (|n| fois si n<0).

Plus concretement prendre A = (Z,¤,~) ou n¤m = m+n et n~m = -mn
on verifie que Z muni de ces 2 lois est bel et bien un anneau.
Et on a bien morphisme entre le Z classique et ce nouvel anneau Z.

RadarX.

[Nightmare]

exemple tiré d'un exo :

Soit :


On peut s'amuser à démontrer que l'application :
est un isomorphisme de dans

:happy3:
jord

[Nightmare]

Désolé RadaX, je n'avais pas vu ton exemple beaucoup plus simple que le mien :lol3:

[Anonyme]

la question était un peu naïve...

Z, R, C, Z/36Z, K[X] etc. sont des anneaux, dont les lois se notent + et . comme dans (presque) tous les anneaux, mais ce ne sont pas "les mêmes" lois, les ensembles sous-jacents étant différents. Je rappelle que si A est un ensemble, une loi de composition interne sur A est une application de AxA->A, c'est donc une partie de AxAxA.

L'exemple de Nightmare est croustillant! ces anneaux sont appelés anneaux de Boole, ils vérifient en particulier x^2=x pour tout x

[Nightmare]

Oui en effet sept-épées, du résultat que j'ai énoncé plus haut, on peut démontrer que est un anneau commutatif et de boole


Jord