Montrer une bijection

[Tallamohamed]

Soit f une application de E dans F, soit £:l’ensemble des parties des applications de E dans F , et g l’application de £ vers F^n, définie par g(f)=(f(x_1),f(x_2),….,f(x_n)),
Montrer avec détail que g est une bijection de £ vers F^n

[Tallamohamed]

Ma réponse était :
Pour montrer que g est une bijection de £ vers F^n, nous devons montrer qu'elle est à la fois injective et surjective.

Injection :
Supposons que f, h appartiennent à £ et que g(f) = g(h). Cela signifie que pour tout x dans E, f(x) = h(x). Par conséquent, f et h sont des applications identiques de E dans F, ce qui implique que f = h. Ainsi, g est injective.
Surjection :
Soit y = (y_1, y_2, ..., y_n) un élément de F^n. Nous cherchons à trouver une fonction f dans £ telle que g(f) = y. Nous pouvons définir f comme suit :
f(x_i) = y_i pour tout i de 1 à n.
Cette fonction est bien définie car y appartient à F^n et donc chaque y_i appartient à F. De plus, cette fonction est clairement dans £, car elle associe chaque élément de E à un unique élément de F. Enfin, nous avons :

g(f) = (f(x_1), f(x_2), ..., f(x_n)) = (y_1, y_2, ..., y_n) = y.

Cela montre que pour tout élément y de F^n, il existe une fonction f dans £ telle que g(f) = y. Ainsi, g est surjective.

Puisque g est à la fois injective et surjective, elle est une bijection de £ vers F^n.

[Tallamohamed]

Ma réponse était :
Pour montrer que g est une bijection de £ vers F^n, nous devons montrer qu'elle est à la fois injective et surjective.

Injection :
Supposons que f, h appartiennent à £ et que g(f) = g(h). Cela signifie que pour tout x dans E, f(x) = h(x). Par conséquent, f et h sont des applications identiques de E dans F, ce qui implique que f = h. Ainsi, g est injective.
Surjection :
Soit y = (y_1, y_2, ..., y_n) un élément de F^n. Nous cherchons à trouver une fonction f dans £ telle que g(f) = y. Nous pouvons définir f comme suit :
f(x_i) = y_i pour tout i de 1 à n.
Cette fonction est bien définie car y appartient à F^n et donc chaque y_i appartient à F. De plus, cette fonction est clairement dans £, car elle associe chaque élément de E à un unique élément de F. Enfin, nous avons :

g(f) = (f(x_1), f(x_2), ..., f(x_n)) = (y_1, y_2, ..., y_n) = y.

Cela montre que pour tout élément y de F^n, il existe une fonction f dans £ telle que g(f) = y. Ainsi, g est surjective.

Puisque g est à la fois injective et surjective, elle est une bijection de £ vers F^n.
Un collègue a mal conçu l’indexation, j aimerai savoir s’il y an problème. Merci

[GaBuZoMeu]

Bonjour,
"soit £:l’ensemble des parties des applications de E dans F "
Qu'est-ce que ça veut dire ?

[Tallamohamed]

C est l ensemble de toutes les applications de E vers F

[GaBuZoMeu]

Pourrais-tu donner l'énoncé exact, au lieu d'une interpétation approximative ?
Est-ce que est supposé avoir éléments, par hasard ?

[Tallamohamed]

Oui . E et F sont de même cardinal

[GaBuZoMeu]

Pourrais-tu donner l'énoncé exact, au lieu d'une interpétation approximative ?

[Tallamohamed]

Bien sûr. Soient E ={x_1,….x_n} et F={y_1,…,y_n} deux ensembles, on désigne par A:=A(E,F) l’ensemble des applications se E dans F^n, et @ :A vers F l application telle que: @(f)=(f(x_1),…,f(x_n)).
Montrer que @ est une bijection deA dans F^n.