Montrer que fx est une densité de probabilité ssi a = 24

[sauvezmonannee]

Bonjour,

Voici l'exercice qui me pose problème :

X est une variable aléatoire de densité de probabilité fx définie sur IR par:

f x(t)=0 si t <2
f x(t)=a.t^(-4) si t≥2, a est un nombre positif.

Montrer que fx est une densité de probabilité, si et seulement si a = 24

Je ne sais pas comment m'y prendre.

Merci d'avoir lu, si quelqu'un peut m'éclairer svp

[aviateur]

Bonjour
Si c'est vrai, c'est que
Tu peux commencer par faire ce calcul.

[capitaine nuggets]

Salut !

Il faut vérifier deux choses :
1. est continue par morceaux sur et,
2. est positive sur et,
3. l'intégrale de sur tout entier vaut : .

Remarque que est nulle sur donc en fait la condition :
2. " est positive sur " équivaut à "pour tout , " donc et,
2. "" équivaut à "". Or sur, donc il faut trouver tel que l'on ait : , ou encore .

[sauvezmonannee]

Merci pour ces réponses, il me manque encore quelque chose pour bien comprendre :

Comment calculer une aire entre 2 et infini ?

J'ai tenté de poser un nombre t et calculer l'aire entre 2 et t et faire tendre t vers infini mais je n'obtiens rien de probant. Ce n'est pas la bonne méthode ?

[mathelot]

Il suffit d'intégrer de 2 à u puis de faire tendre u vers l'infini. Surtout ne pas prendre t comme borne d'intégration. t étant déjà la variable d'intégration

[capitaine nuggets]

Comment calculer une aire entre 2 et infini ?

Il vaut mieux parler de "l'intégrale" entre et que de "l'aire" entre et .

J'ai tenté de poser un nombre t et calculer l'aire entre 2 et t et faire tendre t vers infini mais je n'obtiens rien de probant. Ce n'est pas la bonne méthode ?

Si c'est la bonne méthode : mais tu confonds les rôles de la variable d'intégration (que je note x) avec une des deux bornes de l'intégrale que l'on vers faire tendre vers (que je note ) : pour , considère l'intégrale . Exprime-la en fonction de puis déduis-en la valeur de , sachant que .

[sauvezmonannee]

Je vous remercie beaucoup pour ces précisions j'ai réussi l'exercice et bien mieux compris