J'aimerais montrer que le déterminant est une forme n-linéaire alternée, en utilisant la caractérisation des formes alternées (sur
On a
Si
J'ai essayé dans le cas particulier où
Montrer que le déterminant est une forme alternée
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Montrer que le déterminant est une forme alternée
par wartenberg » 30 Sep 2019, 12:54
Bonjour,
J'aimerais montrer que le déterminant est une forme n-linéaire alternée, en utilisant la caractérisation des formes alternées (sur
ou 
) qui est que  \in E^n, \phi(x_{\sigma(1)},..., x_{\sigma(n)})= \epsilon (\sigma) \phi (x_1,...,x_n))
.
On a=\sum_{\sigma \in S_n}{ \epsilon(\sigma) a_{\sigma(1) 1}...a_{\sigma(n) n})
, où 
.
Si
, on a
},...,V_{\mu(n)}) = \sum_{\sigma \in S_n}{ \epsilon(\sigma) a_{\sigma \circ \mu(1) \mu(1)} ... a_{\sigma \circ \mu(n) \mu(n)}})
Et après, je ne sais pas comment faire sortir un )
???
J'ai essayé dans le cas particulier où
est une transposition (qui permettrait d'en déduire le cas général, puisque les transpositions engendrent 
), mais, même là, je ne vois pas comment faire...
J'aimerais montrer que le déterminant est une forme n-linéaire alternée, en utilisant la caractérisation des formes alternées (sur
On a
Si
J'ai essayé dans le cas particulier où
Re: Montrer que le déterminant est une forme alternée
par GaBuZoMeu » 30 Sep 2019, 13:12
Ce n'est pas tout à fait ça. En fait
},...,V_{\mu(n)}) = \sum_{\sigma \in S_n}\left( \epsilon(\sigma) \prod_{i=1}^n a_{\sigma (i),\mu(i)}\right)=\sum_{\sigma \in S_n}\left( \epsilon(\sigma) \prod_{i=1}^n a_{(\sigma\mu^{-1}) (i),i}\right))
Ensuite, utilise la bijection
de sur lui-même pour réécrire la somme.
Ensuite, utilise la bijection
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