Montrer E est une base

[Damian29]

bonjour:)
j'ai une rédaction de colle à faire en vak et j'ai un problème.
je l'avais rédigé au brouillon juste après la colle mais en la relisant là y'a qqlch que je comprends pas et du coups ai je mal recopié?

l'énoncé:Soit E un espace vectoriel de dimension n£N* et soit f un endomorphisme de E tq que f^n=0 et f^n-1 différent de 0
Montrer qu'il existe un vecteur e£E tq [e,f(e)....f^n-1(e)] soit une base de E

j'ai dit que: f^n=0 qqlsoit x£E,f^n(x)=0
f^n-1 diff de 0 il existe e£E tel que f^n-1(e) différent 0

ensuite j'ai dit: soient (I1,I2....In-1)£IK^n tq EQUAT= I0*e+I1*f(e)+...+In-1*f^n-1=vecteur nul 0
montrons que I1=I2=...=In-1=0

composons par f^n-1 EQUAT=>I0*f^n-1(e)+I1*f^n(e)+...+In-1*f^2n-2=f^n(0) ceci possible car f est une application linéaire

aprés je démontre par récurence que qqlsoit k>ou égale n,f^k=0
et du coups on a de l'EQUAT I0*f^n-1=f^n(0) or d'aprés l'hypo f^n(0)=0 dc I0*f^n-1(e)=0 dc I0=0 car f^n-1(e) diff de 0.
on réitere ce procédé en composant par f^n-2, puis f^n-3 etc.. et on montre ainsi que 0=...In-1=0
dc que c'est libre

mon pb est le suivant (en rouge): je comprend pas pk c f^n(0) et pas f^n-1(0) si on compose le tout par f^n-1

merci de m'aider

[kazeriahm]

bah si c'eszt toi qui a écrit ca tu devrais savoir ce qu'il faut ecrire. De toute facon si f est linéaire, alors f(0)=0

[Damian29]

pff je suis bête mais bien sur...

oui mais j'avais pas relu ça depuis l'après colle cT plus frai ^^'

merci:D

[Damian29]

une derniere question
doit t'on écrire f^f=0 ou f^k= vect nul 0 ?

[Joker62]

Ca veut dire quoi f^f ?

[Damian29]

dzl f^k=0 ou f^k= vect nul

[kazeriahm]

beh en fait il faut ecrire f^k= la fonction nulle = 0 = 0_L(E)=0_R^n^2=...

ecris f^k=0 c'est clair pour tout le monde normalement

[Damian29]

ok merci :)