Montre une équivalence

[AHopelessBoy]

Bonjour,

Je viens ici pour y quémander un peu d'aide (le mot est fort il est vrai) pour ce simple exercice :

Montrer que A ∩ B = A ∩ C ⇔ A ∩ (E \ B) = A ∩ (E \ C).

Je ne comprend pas ce qu'on attend de moi. J'ai essayé de mon côté et je me retrouve bloqué ici :

A ∩ B = A ∩ C ⇔ (A ∩ E) ∩ (A\B) = (A ∩ E) ∩ (A\C)

Un peu d'aide serait donc la bienvenue !

Merci beaucoup !

[phyelec]

Bonjour,

E est quel ensemble? est-ce celui qui contient A et B?

[AHopelessBoy]

E est l'ensemble qui contient l'ensemble A, B et C.

[mathelot]

bonsoir,

on utilise l'isomorphisme



P(E): ensemble des parties de E
: ensemble des applications de E vers l'ensemble {0;1}

Si A un ensemble quelconque, alors l'application est définie sur E par :
si , 0 sinon

questions :
que vaut en fonction de et ?
que vaut en fonction de ?

est-ce que équivaut à A=B ?
remarque est l'indicatrice de A, sauf erreur

[beagle]

tu me semblais assez proche de l'arrivée si
a droite de l'équivalence on a A/B =A/C dans les deux lignes que tu as mises, non?

[mathelot]

les lignes suivantes sont équivalentes:

[tournesol]

On doit montrer:

Il suffit de montrer

Ce qu'il faut savoir:
1. La commutativité de l'égalité .
2.
Démonstration élémentaire de
Soit x appartenant à
x n'appartient pas à B , donc x n'appartient pas à
Or . Donc x n'appartient pas à .
Mais comme x appartient à A , c'est qu'il n'appartient pas à C .
Donc il appartient à A et à , donc à .
CQFD .
On applique ce résultat avec et on obtient
On a donc montré que
Réciproque :
On applique cette implication à
On obtient
C'est à dire en vertu de 2. .

[tournesol]

Il y a aussi le coup de Boole :
On doit montrer que
CN

Donc et donc
On multiplie les deux membres par
On obtient après réduction
nous donne
Donc
CS :
la CN appliquée à donne
c'est à dire

[Ben314]

Salut,
Perso, vu qu'il n'y a que 3 parties de E en présence dans les formules, j'aurais fait un bête dessin avec 3 patatoïdes (et les 2^3=8 régions partitionnant E) pour démontrer le résultat : on y voit immédiatement que deux égalités disent la même chose, à savoir que deux des 8 régions sont vides.

[tournesol]

La méthode la plus élégante est , à mon avis , celle de mathelot .
Ben314 , merci pour mettre au premier plan ton évidence graphique qui est passée inaperçue , dissimulée par nos 3 démonstrations théoriques .

[beagle]

Perso je n'ai pas répondu car je ne sais pas quelle écriture est la demande pédagogique de l'exo.
S'agit-il de bien manier les inter union etc...
Parce que sur le fond on voit assez vite que l'exo est trivial, au niveau ensembliste cela ne dépasse pas l'apprentissage de la cardinalité de l'école primaire, et encore la cardinalité des ensembles ici présents serait encore plus général.(un ensemble A et deux complémentaires, A qui est B , A qui n'est pas B).

Donc j'ai bien aimé l'écriture de Mathelot que je ne connaissais pas, j'ai du zapper en ne comprenant pas si vous avez dejà écrit les trucs comme ça.
Pour autant je pense qu'une démonstration est dite plus belle qu'une autre souvent sur le principe d'économie.
Or ici l'économie de l'écriture existe si on a déjà passé du temps à expliquer comment on écrit, donc c'est un peu tricher (au niveau beauté élégance économie de moyens)

La question qui serait intéressante à poser à notre garçon désespéré, c'est:
-est-il en difficulté de voir ce que l'on montre
-ou est-il en difficulté de traduire ce qu'il comprend en un langage imposé qui est celui qu'il apprend en ce moment

[tulipe]

Si on part de rien, je préfère la première de tournesol qui est complète et "élémentaire" ou naturelle, la deuxième de tournesol m'inspire d'utiliser A=AnB U An(E\B) l'union étant disjointe, ce qui donne une démonstration rapide et "élégante" tout en gardant le côté naturel.

Celle de mathelot est un peu plus calculatoire et donc moins naturelle et surtout plus chargée si on part de rien : il faut définir l'indicatrice et répondre à toutes les questions qu'il soulève dans son premier post, ce qui rallonge un peu les choses.

[beagle]

Hum, je vais me faire exploser si je fais dire des co...ries à Ben314, mais allons-y.

Il est clair que je raisonne perso sur le dessin.
Mais j'aurais fait: si x appartient à A qui n'est pas B alors il n'appartient pas à A qui B donc pas à A qui est C donc x appartient à A qui n'est pas C. Et comme B=C et C =B évite de reprendre ...(voilà pour un sens de l'équivalence et qs idem autre sens)

Mais attention, Ben314 avait dit un jour , ou j'ai cru comprendre,
un dessin est une preuve mathématique acceptable s'il n'est pas un exemple de réalisation,
mais l'unique réalisation des conditions imposées.

Ce qui encore plus fort dans le texte de ce fil, pourrait aller jusquà il ya équivalence de situations-conditions si on aboutit à deux dessins identiques qui sont les seuls réalisations possibles.

Si je ne déforme pas les propos de Ben314, alors on aurait une démonstration acceptable de l'équivalence,
du seul fait d'avoir le meme dessin possible pour les deux membres de l'équivalence.
Et si je n'ai pas déformé les propos de Ben314, et pris mes rèves pour des réalités,
alors ça c'est fortiche de chez fort
Cela me laisse sur le cul meme!

Ben314 si tu veux commenter mes délires????

[tulipe]

Salut Beagle, c'est pas mal en effet mais je vois à cela un obstacle de taille, comment prouver que c'est l'unique réalisation. (perso je suis aussi parti d'un dessin pour réfléchir à ce problème)

[beagle]

salut tulipe,
attendons les précisions de maitre Ben314 !!!

[tournesol]

@Beagle : bonjour , je comprends tes lignes 3 , 4 , et 5 comme une partie de bonneteau avec A , B , et C .
@Ben314
Ta "démographique" est un très bon guide pour utiliser un deuxième coup de Boole mais plus concis que mon premier .
Tu dis:; je note p(A,B,C) cette deuxieme propriété .
Il est alors évident que p(A,B,C) est équivalent à
Quand à la démo de l'équivalence , elle est facile :
AB=AC entraine
AC=AB entraine
réciproque :


Donc AB=AC
Signé maître enfoiros , avocat de Ben314

[Ben314]

Le dessin constitue bien évidement une preuve on ne peut plus carrée du résultat. Si on y tient absolument, on peut rédiger la même chose uniquement par du texte (mais à mon sens, ça va à l'encontre du principe qui dit que plus une preuve est courte et facilement compréhensible, meilleure elle est) :

Pour chacun des ensembles A,B,C et chaque x de E il y a deux possibilités, à savoir que x est dans la partie ou il n'y est pas, donc peut partitionner (*) E en 2 x 2 x 2 = 8 sous ensembles élémentaires :








Ensuite, et
Donc
De même, et
Donc
c.q.f.d

(*) Modulo qu'ici, le terme de "partition" signifie uniquement que la réunion est E tout entier et que deux parties élémentaires distinctes sont disjointe, mais ça ne signifie pas que les parties élémentaires sont non vides (alors que dans la définition de "partition", on peut éventuellement exiger des sous parties non vides)

[beagle]

"@Beagle : bonjour , je comprends tes lignes 3 , 4 , et 5 comme une partie de bonneteau avec A , B , et C ."

euh ce qui veut dire?

[beagle]

"partie de bonneteau " pouvant ètre mal pris sur un forum de maths, je vais préciser.
Je racontais juste succinctement comment à partir du dessin j'aurais écrit la chose.
Et cela différe peu il me semble de tes façons de faire qui ont été écrites bien plus rigoureusement.
C'était juste une intro ...
Mais je peux développer sans toutefois aller jusqu'au bout :

cet exo parlant uniquement de A inter trucs peut se résumer aux parties de A.
bref le dessin de Ben314 on peut dire qu'il pourrait se contenter de dessiner A.
La premiere égalité dit si A qui est B = A qui est C
La deuxième égalité dit si A qui n'est pas B = A qui n'est pas C

Donc bonneteau:
pour la premiere implication sens de gauche vers droite de l'équivalence
on a A qui est B = A qui est C
donc maintenant si x appartient à A qui n'est pas B, patati ... il est dans A qui n'est pas C.
Et comme on peut appeler B le C et C le B
on a bien égallité des ensembles A pas B et A pas C

[tournesol]

Bien compris beagle .
Ta ligne 6 est très intéressante car elle dit que le pb ne concerne que les traces sur A de B et C , et de leurs complémentaires . Si on utilise les mêmes notations pour les ensembles et pour leurs traces sur A , l'exo devient trivial : montrer que .