Montre que x=sup(A) si et suelement si x est un majorant de A

par **lomdefer** » 18 Sep 2006, 12:38

Soit A une partie de l'ensemble R.
Montrer que x=sup(A) si et seulement si x est un majorant de A.

Merci pour votre aide.

par **tize** » 18 Sep 2006, 12:43

La borne supérieure d'un ensemble est par définition le plus petit de ses majorant, c'est donc bien en particulier un majorant non ?
Par contre je ne suis pas d'accord avec le ssi !
contre-exemple : si A=[0;1], 2 est bien un majorant sans être la borne supérieure de A...N'y a-t-il pas d'autres informations sur A ?

Ou peut être : [

et x=sup(A) ] ssi [

et x est un majorant de A]

par **jucelan** » 18 Sep 2006, 13:14

Bonjour,
Je précise x=sup(A) seulement si x est un majorant de A; autrement dit, x est un majorant de A est une condition nécessaire de x=sup(A), mais n'est pas une condition suffisante...

par **lomdefer** » 18 Sep 2006, 13:17

Je comprend bien ce que vous me dite, mais en fait j'ai pas l'exercice sous les yeux je l'aurai vers 16h je vous redonnerais l'ennoncer.
Dsl

par **nox** » 18 Sep 2006, 13:19

je pense que tize a tapé juste et que on doit avoir l'hypothese que x appartient à A...je ne vois pas l'intérêt sinon ^^

par **lomdefer** » 18 Sep 2006, 13:36

Oui je pense aussi que tize a vu juste mais je n'arrive pas a le montrer enfin a le démontrer...quelqu'un pourrait me montrer le chemin ??

par **nox** » 18 Sep 2006, 13:43

ba un sens est évident et pour l'autre :
si

et x majorant de A, on considère un majorant y de A.
Si y appartient à A, on a y <= x et x <= y donc x = y
Si y n'appartient pas à A, on a x <= y car x appartient à A

Donc x est le plus petit majorant

par **lomdefer** » 18 Sep 2006, 14:24

Voici l'énnoncer entier :
Soit A une partie non vide de R.Montrer que x=sup(A) si et seulement si x est un majorant et pour tout e appartient a R(+,*) il existe y appartient à A tel que x-e<= y.

Voila.

par **nox** » 18 Sep 2006, 14:31

ba je pense que le

a été oublié ou est sous-entendu en écrivant que x = sup(A) au début mais bon...

la démonstration au dessus doit marcher pour le début et sinon pour la suite ba si il n'existe pas de y de A tel que y >= x-e, on a x-e > y pour tout y de A donc x-e = x impossible car e

par **Alexandre_de_Prepanet** » 18 Sep 2006, 14:35

Ton enoncé, présenté comme tel, est faux : il n'y a pas d'équivalence entre tes deux propositions.

Il y a cependant bien une inplication, de gauche à droite.

par **nox** » 18 Sep 2006, 14:36

wai on l'a deja dit...tel quel c'est faux mais comme l'a dit Tize on sous-entend surement que x est dans A

par **lomdefer** » 18 Sep 2006, 14:44

pour la deuxième partie :
On sait que x=sup A et que y appartient à A (d'après l'énoncé).
On a donc forcement : x>=y.
Il n'éxiste donc ppas de y appartient à A tel que y>=x.

par **nox** » 18 Sep 2006, 14:50

euh wai...

mais sinon les solutions que j'ai donné elles te plaisent pas ?

nox a écrit:ba un sens est évident et pour l'autre :
si et x majorant de A, on considère un majorant y de A.
Si y appartient à A, on a y = x-e, on a x-e > y pour tout y de A donc x-e = x impossible car

par **lomdefer** » 18 Sep 2006, 14:59

Si si pour la première partie c'est impecable mais pour la deuxième : "pour tout e appartient a R(+,*) il existe y appartient à A tel que x-e <= y ."

On sait que y appartient à A et que x =sup A donc on a forcement : x>= y.
Si x=y on a donc e = 0.
Si x>y on a alors e > x-y donc y>x-e.

Sa va ce que j'ai fait ou il manque des choses ou alors c'est faux ?

par **nox** » 18 Sep 2006, 15:03

c'est à peu pres la meme chose que moi présenté d'une façon un peu différente...mais ca me parait moins euh...moins strict...

Dans le cas où e = 0 faut bien sur préciser que c'est impossible
dans l'autre cas ca parait logique mais j'ai l'impression que tout ce que tu as fait c'est reformuler l'énoncé. On te demande de montrer qu'il existe y compris entre x-e et x et tu dis que "e > x-y donc y>x-e"
Ton idée est bonne mais mal formulée. Donc si tu ne veux pas de la méthode par l'absurde que j'ai mise je crois qu'il faut juste reformuler un peu cette manière là pour être rigoureux

par **lomdefer** » 18 Sep 2006, 15:06

Oui c'est bien ce que je me disait...merci pour ton aide je vien de tout comprendre a l'exercice merci beaucoup !!
Mais quelle pourrait être la manière de reformuler ?
Du genre :
On veut savoir s'il existe un y tel que : x-e>= y >= x.
S'il n'éxiste pas, on aurait x-e>= x.Or ceci est absurde !!on ne peut pas obtenir un nombre plus grand que lui même si on lui retranche une valeur quelconque.

par **nox** » 18 Sep 2006, 15:07

no problem ^^

par **nox** » 18 Sep 2006, 15:14

ba wai par l'absurde ca me parait bien ^^

Donc tu retombes pile sur mon idée de départ

sauf que la tu as mis l'inégalité dans le mauvais sens !
x-e <= y <= x donc ta formulation est à revoir...

Je te suggere encore une fois celle que j'ai proposée...

par **lomdefer** » 18 Sep 2006, 15:54

Comment sa dans le mauvais sens ?
tu veut dire qu'il faut mettr sa x>=y>=x-e ou alors x-e>=y>=x ??

par **nox** » 18 Sep 2006, 15:58

Ta démonstration s'appuie sur ça :

lomdefer a écrit:On veut savoir s'il existe un y tel que : x-e>= y >= x.

et tu en déduis que si y n'existe pas alors x-e>=x

Or : même si tes inégalités étaient bonnes tu n'aurais pas besoin d'avoir l'inexistence de y pour avoir x-e >= x. C'est donné par les inégalités.

et tes inégalités sont dans le mauvais sens !
on cherche y tel que x-e = y >= x

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