Bonjour,
Je ne suis pas sur d'être au bon endroit dans ce cas je m'excuse...
Je suis étudiant en bac+3 en mathématiques et info et j'ai quelques recherches à faire sur l'approximation d'intégrales multidimensionnelles à l'aide des méthodes de Monte Carlo: La "classique" à comparé avec celle basée sur l'échantillonnage stratifié.
La méthode de monte Carlo (MC) classique est très simple à comprendre et à mettre en place algorithmiquement: Si j'ai bien compris, grossièrement on choisit une valeur x au hasard dans le/les intervalles d'intégration, noté D, et on calcule l'aire du rectangle: x*f(x).
On répète le processus n fois pour faire la moyenne des résultats. Par la loi des grands nombres, pour n assez grand, cette moyenne empirique se rapproche de l'espérance qu'on cherche à calculer. Cette espérance correspondant à la valeur de l'intégrale.
Si une erreur a été dite je suis prêt à vous écouter mais normalement je suis ok sur ce point.
On cherche ensuite à minimiser l'erreur d'approximation de cette méthode en réduisant la variance. On cherche alors de nouvelles méthode dont la méthode de MC par l'échantillonnage stratifié. Le principe est d'approximer notre intégrale I par:
I = E[f(X)] = Ji * pi
où Ji= SOMMEi( E[f(X )| X ∈ Di] ) et pi =P(X ∈ Di)
On crée une partition de l'ensemble d'intégration D (ce sont les D[small]i[/small] qu'on appelle strate) et on applique la méthode de MC classique pour chacune de ces strates. C'est à dire que l'on va approximer chaque Ji associé à son ensemble Di en utilisant MC classique. Chaque Jiest ensuite multiplié par son coefficient pi cad P(X ∈ Di).
Mes problèmes sont les suivants:
1) Comment choisit on les strates Di? Car le but étant bien sûr d'optimiser le résultat cad de rendre l'approximation le plus précis possible. Je dois avouer qu'ici je n'ai absolument aucune idée de ce qu'il faut faire....
2) Une fois les Di trouvés, comment fait-on pour calculer P(X ∈Di)? Après de nombreuses recherches sur internet aucune explication n'a été donnée sur ce point non plus.
Excepté un point: P(X ∈UDi)=1. Cette relation est assez logique à comprendre: X est forcément dans l'intervalle D d'intégration et UDi=D. Je n'ai pas les mots pour l'expliquer mais je comprends parfaitement la signification de P(X ∈Di).
Pour le calcul des P(X ∈Di), l'idée qui me vient est de calculer la somme de la longueur de chacun des intervalles de ma strate et de le diviser par la somme des intervalles d'intégration. Voici un exemple simple pour illustrer mon idée:
Si mon intervalle est [0,1]*[0,1] et que je décide de créer 2 strate:
-D1=[0;0.7]*[0;0.7]
-D2=[0.7;1]*[0,7;1], on aurait:
P(X ∈ D1)= ((0,7-0)+(0,7-0)) / ((1-0)+(1-0)) = 0.7
P(X ∈ D2)= ((1-0,7)+(1-0,7)) / ((1-0)+(1-0)) = 0.3
3) Est ce que quelqu'un parmi vous aurait un exemple concret à donner ? Je suis quelqu'un qui comprend assez vite dès lors que j'ai un ou deux exemple sous la main mais le problème étant que je n'ai rien trouvé sur internet....Par des exemples, j'entends dire des exemples d'intégrales où je pourrais éventuellement travailler dessus à l'aide de programme.
Je vous remercie d'avance pour votre réponse et le temps que vous m'apportez, je ne sais pas si j'ai été clair mais si vous avez des questions/ des critiques je suis prêt à les écouter