Monotonie

par **Hossam** » 20 Sep 2012, 19:49

Je n'arrive pas à savoir pourquoi la fonction x associe a 1/x n'est pas monotone ?
Merci a vous !

par **Nightmare** » 20 Sep 2012, 19:51

Hello,

monotone autorise la fonction à être constante

Strictement monotone l'interdit.

par **Hossam** » 20 Sep 2012, 19:52

ah ! d'accord !, mais pour quoi f=1/x ne serait pas une fct monotone ?

par **barbu23** » 20 Sep 2012, 20:25

Hossam a écrit:ah ! d'accord !, mais pour quoi f=1/x ne serait pas une fct monotone ?

Il suffit de regarder sa représentation graphique :
Par exemple :

implique que

,

.
C'est à dire,

n'est ni croissante, ni décroissante, donc, n'est pas autonome. :happy3:

par **fal** » 21 Sep 2012, 12:48

monotone sur intervalle donné:
f:x>>>1/x est monotone sur R* càd f est tout le temps décroissante

par **Dlzlogic** » 21 Sep 2012, 13:08

Bonjour,
Je pense qu'il faut revenir à la définition. Une fonction est monotone si sa dérivée a toujours le même signe.
Pour que cette condition soit possible, il faut que la dérivée existe. Or pour x=0, la dérivée n'existe pas.

par **Judoboy** » 21 Sep 2012, 13:14

Pas mal ces réponses.

Nightmare c'est quoi cette signature (R est un C-ev de dimension 1) ?

par **barbu23** » 21 Sep 2012, 13:19

Judoboy a écrit:Pas mal ces réponses.

Nightmare c'est quoi cette signature (R est un C-ev de dimension 1) ?

:

par **Nightmare** » 21 Sep 2012, 14:15

Hello,

Remarque pour le topic > Attention, 1/x n'est pas décroissante sur R*. En effet, -1 < 1 et pourtant f(-1) < f(1). Il faut prendre des précautions lorsqu'on parle de monotonie sur un ensemble qui n'est pas un intervalle.

Remarque sur la signature > Un résultat que j'ai (re)découvert hier et qui cache beaucoup de choses intéressantes, comme par exemple le fait que R et C soient isomorphes en tant que groupe additif.

par **wserdx** » 21 Sep 2012, 14:17

La monotonie est relative à un intervalle ou à la rigueur un ensemble de valeurs.
En effet

n'est pas monotone sur

mais sur tout intervalle de

ou de

.
Une fonction n'a pas besoin d'être dérivable pour être monotone, c'est juste une relation d'ordre (croissante ou décroissante)
Exemple

(définie par continuité en 0) est croissante mais non dérivable en 0.

par **Doraki** » 21 Sep 2012, 14:19

wserdx a écrit:La monotonie est relative à un intervalle ou à la rigueur un ensemble de valeurs.
En effet n'est pas monotone sur mais sur tout intervalle de ou de .

ou sur tout intervalle de R*

Une fonction n'a pas besoin d'être dérivable pour être monotone, c'est juste une relation d'ordre (croissante ou décroissante)
Exemple (définie par continuité en 0) est croissante mais non dérivable en 0.

ou alors x -> x^(1/3)

par **Dlzlogic** » 21 Sep 2012, 14:30

Une fonction n'a pas besoin d'être dérivable pour être monotone, c'est juste une relation d'ordre (croissante ou décroissante)

Oui, c'est vrai, j'ai pas été assez rigoureux.

par **wserdx** » 21 Sep 2012, 14:33

Doraki a écrit:ou sur tout intervalle de R*

Ben non, justement.
1/x décroit à gauche de 0, décroit à droite de 0, mais les valeurs à gauche (négatives) sont inférieures à celles de droite (positives)!

A la rigueur, par exemple on pourrait dire que 1/x est croissante sur l'ensemble

par **Nightmare** » 21 Sep 2012, 14:35

Tout intervalle de R* est contenu soit dans R-* soit dans R+*, donc la remarque de Doraki est correcte.

par **wserdx** » 21 Sep 2012, 14:37

Ok! au temps pour moi!
(En fait j'ai écrit "intervalle", mais je pensais "partie", d'où ma méprise...)

par **wserdx** » 22 Sep 2012, 17:25

Nightmare a écrit:Tout intervalle de R* est contenu soit dans R-* soit dans R+*, donc la remarque de Doraki est correcte.

je pinaille peut-être, mais il me semblait qu'un intervalle sur un ensemble S totalement ordonné, c'est l'ensemble des valeurs comprises entre les deux bornes (plus ou moins les bornes éventuellement)
Il doit y avoir une définition particulière pour

que j'ai dû oublier... :lol3:

par **Nightmare** » 22 Sep 2012, 18:41

Oui, on peut généraliser la notion d'intervalle, mais ici le mot est employé pour désigner les intervalles usuels de R, c'est à dire les connexes.

Quand on parle d'un intervalle de R*, on sous-entend un intervalle de R contenu dans R*. Mais effectivement, on pourrait dire qu'en théorie ]-3;0[U]0;1[ est un intervalle (dans R*) de R*

par **Judoboy** » 24 Sep 2012, 01:53

Ils sont sympas tes Daily Maths Facts Nightmare, ils viennent de toi ?

Tu peux développer sur le "R est un C ev de dimension 1" ? Et pourquoi est-ce que la condition de commutativité de l'addition est superflue ?

par **Doraki** » 24 Sep 2012, 10:42

Ben il y a une bijection entre C et R, donc tu peux mettre une structure de C-ev de dimension 1 sur R puisque C est canoniquement un C-ev de dimension 1.
En plus, tu peux même trouver une bijection qui commute avec l'addition donc tu n'es pas forcé d'inventer une nouvelle addition sur R pour que ça marche. Ce sera juste la multiplication, de C*R -> R, qui va ressembler à rien.

Aussi, tu peux faire bien pire : Tu peux mettre un produit sur R de sorte que R est un R-ev de dimension cardinal de R.

par **Nightmare** » 24 Sep 2012, 16:56

Hello,

Doraki a tout bien dit. R et C ne sont pas identiques pour beaucoup de structures, mais en tant que groupes additifs, ils le sont (pour le voir, il suffit de les considérer comme des Q-ev). Cette identification permet artificiellement de munir R d'une structure que C-ev. Ca n'a surement aucun intérêt pratique, mais le côté contre-intuitif est amusant.

Concernant la commutativité de l'addition qui est superflue, cela vient du fait qu'on la retrouve à partir des autres axiomes. Notamment, si a et b sont des éléments de l'anneau, on a à la fois :

(1+a)(1+b)=1+a+(1+a)b=1+a+b+ab
et
(1+a)(1+b)=1+b+a(1+b)=1+b+a+ab

Si bien que a+b=b+a

Concernant la provenance des DMF, ce ne sont évidemment pas des résultats qui viennent de moi mais que je retrouve ou découvre au cours de mes lectures et mon travail personnel. Rien d'extravagant, il y en aura qui seront évidentes et/ou utile et d'autres beaucoup moins.

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