Modules de longueur fini

[Nightmare]

Salut à tous,

je patauge un peu en algèbre commutative, j'ai un peu du mal à visualiser ce qui est demandé.

Ici, on demande une liste, à isomorphisme près, des C[X]-modules de longueur 4 et annulés par X^3(X-1)^3.

Il est écrit ensuite qu'un tel module est isomorphe à une somme avec Pi qui divise P(i+1) et que la somme des degré des P(i) vaut 4.

Pourquoi doit on avoir Pi qui divise P(i+1) ? Je sais qu'un module sur un anneau principal se décompose en la somme des {x, =0} ou les pi sont les facteurs irréductible de la décomposition de l'élément annulateur, mais dans ce cas il est clair que justement p(i) ne peut diviser p(i+1), ou alors j'ai raté quelque chose...

Merci de votre aide :happy3:

[miikou]

Salut

Qu'appel tu C[X] module ? en tout cas ca sent bon le theoreme d'isomorphisme non ?

[Finrod]

Ah ça y est je crois que j'ai compris. (j'ai bien dit "je crois").

Quand tu as une somme directe, pour écrire la suite strictement croissante de sous-modules qui te donne la longueur, il faut identifier les sous-modules, et on peut s'aider des facteurs de la somme si ceux-ci sont inclus les uns dans les autres.

Donc, c'est la meilleure façon d'écrire les éléments de longueur 4.

Le second thm que tu donnes prend pour hyp que tu connais l'annulateur. Or dans ta classification des truc de longueur plus petit que 4, il y a plusieurs annulateurs ou combinaisons d'annulateur possibles, tous divisant le polynôme de départ de degrès 6. D'où la somme à mon avis.

[Nightmare]

Salut Finrod ! En fait je ne vois surtout pas pourquoi Pi doit diviser P(i+1)...

[Finrod]

Je pense qu'il dit que l'on peut toujours se ramener à ce cas là. Donc on peut toujours trouver une suite croissante de polynômes qui caractérise le module de cette façon.

Mais on peut aussi écrire ce module d'autre manière. Simplement cette façon là est plus proche dans la logique de la décomposition que l'on fait en calculant la longueur.

[Nightmare]

Ah ! J'ai saisi ! Ce n'est donc pas forcé que pi divise p(i+1) ! Tout s'éclaire.

[Joker62]

Haileau
C'est le théorème de la base adaptée.

C[X] est principal.
Le théorème de la base adaptée donne la relation de division sur les Polynômes

[Nightmare]

Effectivement, je n'ai pas vu ce théorème en cours cela dit.

Merci à vous deux !

[Joker62]

Hé bien dans ce cas là
La définition d'un module c'est la longueur max d'une suite d'inclusion de sous-module

Ici ce sont les sous-C[X]-module de C[X] mais comme C[X] est un anneau, ses sous-modules sont les idéaux et comme il est principal, c'est engendré par un certain Pi et comme on a une inclusion d'idéaux on a la division des Pi et Pi+1.