Module de type fini

[RadarX]

Bonjour tout le monde,

Je voudrais avoir la demo du resultat classique suivant:

Soit (Mi)i€I est une famille de A-modules a gauche telle que Mi est non nul pour tout i.
Si M = somme directe des Mi est de type fini alors I est fini.

RadarX.

[RadarX]

On sent, la rentree et les rattrapages!!! :hein:
Il y a moins de monde et les "forumistes" ont moins de temps pour contribuer.

Rx.

[sept-épées]

ouais, vive la rentrée...j'ai cinq (!) classes de 4e cette année, je suppose que c'est pour me faire bien regretter d'avoir raté l'agreg... :briques:

je soumets ces quelques remarques à ta sagacité :

suppose que I soit un ensemble infini, et que (Mi) soit une famille de A-modules (à gauche, mais sans vouloir faire de politique, on s'en tape), tous non nuls, et qu'on choisit disjoints (ça ne mange pas de pain). Il te suffit de montrer que si M désigne leur produit cartésien, aucun sous-module de type fini de M n'est égal à M tout entier. Regarde donc dans combien de Mi sont les générateurs d'un tel sous-module...

amicalement,
sept-épées

[Anonyme]

Et effectivement(désolé), je n'ai pas bcq de tps en ce moment!

Emploi du temps pas terrible!...

pas content. :marteau:

rentrée difficile??!!!!!! meuh non, un jeu!!!

@pluss

[RadarX]

ouais, vive la rentrée...j'ai cinq (!) classes de 4e cette année...
suppose I infini, et que (Mi) une famille de A-modules, tous non nuls, et qu'on choisit disjoints. Il te suffit de mq si M désigne leur produit cartésien, aucun sous-module de type fini de M n'est égal à M tout entier. Regarde donc dans combien de Mi sont les générateurs d'un tel sous-module..
sept-épées

Bonjour a tous
Moi je n'ai toujours pas de classe... alors...! (Ceci a l'intention de Monsieur 7-Glaives)
"les Mi disjoints" ne fait pas grand sens non plus: il ne sont pas sous-ensembles d'un plus grand, et puis ils auraient toujours 0 en commun. Je la prendrais donc bien cette contrib revue, et completée.

Par ailleurs j'ai cet autre pb equivalent:
Soit A un anneau. On suppose que le A-module (centriste pour 7-Glaives) A^(I) (somme directe) est de type fini. Montrer que I est fini.

Ebauche de preuve: si A^(I) est eng par un nb fini d'elements m1,..., mn alors il existe J inclus dans I fini tq les mi aient tous des coordonnees nulles hors de J.
Alors il en est de meme pour toute combinaison lineaire de m1,..., mn.
Alors parait que cet dernier fait entrainerait que I=J; mais je ne le vois pas rigoureusement; est-ce que quelqu'un aurait un exposé clair

[sept-épées]

diable, on m'attaque!

sept épées de mélancolie
sans morfil ô claires douleurs
sont dans mon coeur et la folie
veut raisonner pour mon malheur
comment voulez-vous que j'oublie...

je contre-attaque :

d'abord, je fais le produit cartésien d'une famille de modules (et pas la somme directe d'une famille de sous-modules), donc je les choisis disjoints à juste titre. C'est vrai que ma précision "disjoints" me fait un peu passer pour un névrosé de la théorie des ensembles, et que j'aurais mieux fait de la taire, mais bon...

ensuite, pourquoi exiger que "I=J"???

je vous laisse réfléchir là-dessus

PS : radar, tu enseignes en Afrique?

[RadarX]

je contre-attaque :
d'abord, je fais le produit cartésien d'une famille de modules (et pas la somme directe d'une famille de sous-modules), donc je les choisis disjoints à juste titre.
ensuite, pourquoi exiger que "I=J"???
PS : radar, tu enseignes en Afrique?

Attaquer 7-glaives, le suicide que ce serait! Je n'ai pas envie d'etre une passoire.
J'enseigne pour les necessiteux en l'occurence pour l'Afrique (elle en a grandement besoin!)
Conclure par I = J impliquerait que I est fini et Q.E.D.
Par ailleurs je reverrai ta proposition a la lumiere des nouvelles precisions, quoique je deplore de ne pas avoir une preuve complete!

RadarX

[Alpha]

Je voulais juste confirmer l'impression de RadarX : le forum s'est vidé de pas mal de ses membres les plus actifs. Espérons qu'il y aura une relève.

A un de ces quatre, les amis.

Ce fut un plaisir que de participer à ce forum. :happy3:

Mais tout a une fin. :cry:

[RadarX]

Tu te barres (pardonne la familiarité) Alpha?? Comprend pas!
Par ailleurs, je pense que ca va revenir un peu les matheux apres la periode rentree. Ce forum est tres attrayant et stimulant. Deja, je vois que c'est la saison des DM et tous les problemes qu'on pose...ca revivifie!
RadarX.

[Alpha]

Je ne me "barre" pas, mais à l'avenir, je ne serai là que très rarement (1-2 fois par semaine peut-être). Cela parce que je suis en MP*. Et Mathador sera là encore moins souvent que moi (il est en internat).

Mais je ne me soucie pas pour ce forum : il a conservé des membres de grande qualité.

Au revoir