Module et argument

[pluie2]

Bonsoir,

On me demande de calculer pour a appartient à [0;2pi], le module et si possible, un argument de 1+sin(a)+icos(a).

j'ai fait :

z=1+sin(a)+icos(a)
|z1|²=(1+sin(a))²+(cos(a))²=2(1+sin(a)).

Je me suis arrêtée là car je ne vois pas comment en déduire le module et l'argument

merci de m'expliquer

[Carpate]

Bonsoir,

On me demande de calculer pour a appartient à [0;2pi], le module et si possible, un argument de 1+sin(a)+icos(a).

j'ai fait :

z=1+sin(a)+icos(a)
|z1|²=(1+sin(a))²+(cos(a))²=2(1+sin(a)).

Je me suis arrêtée là car je ne vois pas comment en déduire le module et l'argument

merci de m'expliquer

[pluie2]

je ne comprends pas pourquoi vous ajoutez e^ia ?

la formule d'euler est pourtant : sin(a)=(e^ia - e^-ia)/2i

[Ben314]

Ce qu'a écrit carpate, c'est uniquement la formule générale (pour z quelconque non nul) : où est le module de et un argument de .
Mais il s'est un peu trompé vu que le module que tu as trouvé, c'est donc il aurais du écrire .
En divisant le z (que tu connais) par le module de z (que tu as calculé), ça te permet de voir combien valent et .
Mais en fait, cette méthode qui marche souvent (assez) bien n'est pas adaptée dans le cas présent : tu va tomber sur des calculs lourds et compliqués.

Ici, il y a une "astuce" :
En général, lorsque z1 et z2 sont deux complexe dont on connait le module et un argument, on a très facilement le module et un argument du produit z1 x z2 ce sont ...
Par contre il est difficile d'avoir le module et l'argument de la somme z1 + z2.... SAUF si z1 et z2 sont de même module.
Fait un dessin ou tu représente deux complexes de même module et d'arguments respectifs et puis trace sur le même dessin le point z1+z2.
Quelle figure as-tu sous les yeux ? Peut tu en déduire un argument de z1+z2 ?

Application : le z de ton exercice est la somme de 1 et de cos(a)+i.sin(a) qui sont de même module...

[pluie2]

j'ai quelques petites questions :

a) par la méthode de carpate, comment je fais pour en déduire cos(a) et sin (a) désolé malgré votre explication je ne vois pas trop, faut il que je divise z=rac(2(1+sin(a))e^ia) par p ?
b) pour votre méthode: je n'ai qu'un z et pas deux donc comment pouvoir l'utiliser ?

[Ben314]

La méthode "de carpate" (qui marche en général bien dans des exercices "de base"), ca consiste à écrire au départ :

On connait z et veut évaluer le module et un des arguments .
Pour le module , pas de soucis :

Et pour trouver un argument , ben on écrit que

Donc on cherche tel que :

et

Arrivé là, on pourrait dire qu'on a fini l'exo vu qu'à priori, on voit pas trop comment simplifier les fractions et qu'on voit pas du tout quel va marcher...

C'est pour ça que je te proposait de... faire autre chose... (dans le cas particulier de cet exercice)

b) Et concernant la méthode que je te suggérais, tu as bien deux complexes que tu ajoute : le premier, c'est et le deuxième, c'est .
Donc je le (re)dit : trace sur un même dessin , (en prenant pour a un angle "le plus quelconque possible") ainsi que .
Normalement, on "lit" directement sur le dessin un des arguments de (je pense que c'est niveau collège)

[Black Jack]

z = 1+sin(a) + i.cos(a)

|z|² = (1+sin(a))² + cos²(a) = 2(1+sin(a))

Comme Re(z) >= 0, on a arg(z) = arctg(cos(a)/(1+sin(a)) ... si a est différent de 3Pi/2

Et si a = 3Pi/2, alors z = 0 et n'a pas d'argument.

:zen:

[busard_des_roseaux]

Bonsoir,

On me demande de calculer pour a appartient à [0;2pi], le module et si possible, un argument de 1+sin(a)+icos(a).

merci de m'expliquer

si



on distingue trois cas pour déterminer Arg(z)

cas 1



deux fois le cosinus est positif, c'est

cas 2


le cosinus est négatif, on rajoute à l'argument

cas 3
et effectivement, le cas où est nul, qui correspond à
dans ce cas, n'a pas d'argument

[pluie2]

merci à tous !

[Black Jack]

Avec un nombre complexe z = a + i.b

si a > 0, on a TOUJOURS arg(z) = arctg(b/a) (+2k.Pi)
Si a < 0, on a TOUJOURS arg(z) = Pi + arctg(b/a) (+2k.Pi)

On peut évidemment faire les détours via les signes des sinus et cosinus ... mais ce n'est pas nécessaire.

:zen:

[pluie2]

je ne comprends juste pas d'où vient le pi/2 dans la première ligne de buzard-des-roseaux

[deltab]

Bonsoir.

Les deux nombres complexes et sont toux deux de module 1 mais ne représente pas l'argument de . Si on pose , on doit avoir. Quelle est la relation entre et

[pluie2]

arg(z2)=1/|z2|

je ne comprends pas la première ligne de buzard des roseaux...

[deltab]

arg(z2)=1/|z2|

je ne comprends pas la première ligne de buzard des roseaux...

buzard des roseaux n'a nullement écrit ça . Il a juste remarquer que le produit par i revient à une rotation d'angle , l'ajout du membre écrit en rouge permet de clarifier les choses

[pluie2]

les rotations n'étaient plus au programme de terminale du coup j'avoue que j'ai du mal à comprendre. Auriez vous une autre méthode de calcul qui permette de retomber sur les mêmes résultats ?

[deltab]

Bonjour

les rotations n'étaient plus au programme de terminale du coup j'avoue que j'ai du mal à comprendre. Auriez vous une autre méthode de calcul qui permette de retomber sur les mêmes résultats ?

As-tu lu mon message d'hier (08/11/13) 19h54 ?

[pluie2]

oui je l'ai pourtant lu