Modélisation dans le langage des prédicats du premier ordre

[Galaxie]

Bonjour,

Je viens à vous car je galère sur un exercice de logique.
Voilà le topo, j'ai 5 phrases :

- Tous les chiens font du bruit la nuit.
- Toute personne qui possède un chat n’a pas de souris chez elle.
- Si quelqu’un qui dort difficilement la nuit possède un animal y, alors cet animal y ne fait
pas de bruit la nuit.
- Jean possède soit un chien, soit un chat.
- Jean dort difficilement la nuit.

Je dois les traduire dans le langage du calcul des prédicats du premier ordre en utilisant : D(x) x est un chien; B(x) x fait du bruit la nuit; C(x) x est un chat; M(x) x a des souris chez lui; P(x, y) x possède y; et enfin LS(x) x dort difficilement la nuit.

Je n'ai pas de problème pour traduire les phrases 1, 4 et 5 (la première et les deux dernières), mais j'ai de gros doutes quand à la modélisation des phrases 2 et 3.

Pour la phrase 2, j'aurais écris :
∀x,∃y ( C(y) ∧ P(x, y) → ¬M(x) )
Mais je ne suis pas sur de l'utilisation du quantificateur existentiel, j'ai l'impression qu'on pourrait tout aussi bien écrire :
∀x,∀y ( C(y) ∧ P(x, y) → ¬M(x) )
Est ce que l'une des deux est fausse ? Ou les deux sont vraies ? Laquelle est il préférable d'utiliser ?

Pour la phrase 3, plusieurs choses me perturbe, à commencer par le fait que je ne vois pas comment modéliser le fait que y est un animal. On pourrait dire que y est soit un chat soit un chien, mais du coup on oublie plein d'animaux. D'autant plus que dans la phrase 4 c'est explicitement dit que x possède soit un chat soit un chien, donc si le correcteur s'attendait à ce qu'on le traduise de la sorte, il n'aurait pas écrit la phrase de cette manière.

Bon du coup j'ai quand même traduit la phrase en oubliant le fait que y est un animal, et ça donne :
∀x,∃y ( LS(y) ∧ P(x, y) → ¬B(y) )
Mais encore une fois, j'ai l'impression qu'il serait tout aussi juste d'écrire :
∀x,∀y ( LS(y) ∧ P(x, y) → ¬B(y) )

Je remercie d'avance la/les personnes qui pourront m'éclairer !

[mathelot]

Bonsoir ,
CHIENS: ensemble des chiens
CHATS: ensemble des chats
ANIMAUX: ensemble des animaux
HUMAINS ensemble des humains
Jean: Constante,élément de HUMAINS

1. CHIENS ,

2. CHATS, HUMAINS

3. HUMAINS CHIENS CHATS

4 CHATS CHIENS

5. LS(Jean)

[GaBuZoMeu]

Bonsoir,
Vu la façon dont est posé l'exercice, la réponse de mathelot ne convient pas (pas de quantification restreinte).

Pour tout x, si il existe y tel que y est un chat et que x possède y, alors x n'a pas de souris chez lui

C'est équivalent logiquement à

Pour tout x, pour tout y, si y est un chat et x possède y, alors x n'a pas de souris chez lui.

Pour tout x, pour tout y, si x dort difficilement la nuit et x possède y, alors y ne fait pas de bruit la nuit