Modèle de Lotka Volterra

[Fleur du Pays]

Tout d'abord bonjour à tous, j'ai pour un projet à étudier le modèle de Lotka Volterra, et j'aurais quelques questions à ce propos:

Tout d'abord voici le modèle :

x'(t)=ax(t)-bx(t)y(t)
y'(t)=cx(t)y(t)-dy(t)


1) On se donne (x(t),y(t)) une solution du système, et on se propose de montrer que si x(0)>0 et y(0)>0 alors x(t)>0 et y(t)>0 pour tout t>0

Voici la démonstration à laquelle je pensais, j'aurais aimé votre avis concernant celle ci:

i) x(t) est C1, supposons alors qu'il existe un instant pour lequel x(t)0.

De même pour y(t)...
Mais cette démonstration me semble à moi même bizarre, aussi il me semble que quelque chose m'echappe... En effet, on déduit de Cauchy Lipschitz que x(t)=0 pour tout temps t, ou pour t>=t0?

J'ai également un autre problème dans la suite,

2) Nous devons trouver une quantité conservée au cours du temps sous la forme E(t)=F(x(t))+G(y(t)).

Cette quantifiée conservée sera je m'en doute bien, l'Hamiltonien, mais comment en déduire alors que le solutions du système seront périodiques?

[L.A.]

Bonjour.

Pour le premier problème, la justfication est bonne : si x(t0)=0 alors x(t)=0 pour tout t.

Pour le deuxième, l'intégrale première E que l'on peut trouver a des courbes de niveaux fermées (je veux dire par là des cercles déformés). si on montre qu'une solution parcourt ce "cercle" en entier et revient à son point de départ à T>0, alors les fonction (x(t),y(t)) et (x(t+T),y(t+T)) sont solutions du même problème de Cauchy, donc égales, donc la solution est périodique de période T.

[Fleur du Pays]

Merci pour la réponse,
Je dois dire que je suis un peu à la rue concernant la deuxième question pour le moment, je vais me replonger un peu dans mes cours pour éclaircir tout cela et je reviendrais en cas de problème :)

[Fleur du Pays]

J'ai trouvé un élément de réponse à ma deuxieme question, mais quelque chose m'échappe encore: Voici ce que j'ai trouvé



Etape 1: On se place dans le cadran I
On souhaite montrer que il existe t1 > 0 à partir duquel S(t) = (x(t), y(t)) rentre dans II.

En effet si M(t) reste dans I pour tout temps, alors x(t) et y(t) sont bornés. Comme ils sont monotones ils convergent tous deux vers des limites xl1 et yl1. On en déduit que x;)(t) et y;)(t) convergent aussi par notre système. Leur limite ne peut alors être que 0 car si x;)(t) -> l différent de 0, alors x est équivalent en l'infini à l*t et ne peux donc pas converger. Donc (xl1,yl1) est un point stationnaire.
Comme x(t) est croissant xl1>0 et comme y(t) est décroissant, yl1t1 à partir duquel S(t) rentre dans III[/B]

x(t) et y(t) sont monotones mais pour raisonner de la même manière il nous manque le fait que x(t) et y(t) soient bornés...

Et ainsi de suite par le même raisonnement...
Il existe t3>t2 à partir duquel S(t) rentre dans IV.
Il existe t4>t3 à partir duquel S(t) rentre dans I.
Il existe t5>t4 à partir duquel S(t) rentre dans II.

Il ne restera alors plus qu'à montrer que S(t5)=S(t1)
En utilisant le fait que l'Hamiltonien est conservé cela semble se faire.
Nous pourons donc en conclure que nous sommes dans la situation que tu m'as dit, ie. "(x(t),y(t)) = (x(t+T),y(t+T)) sont solutions du même problème de Cauchy, donc égales, donc la solution est périodique de période T."