Modèle logique des prédicats

[CurryDoux]

Bonjour,
Je me permets de vous solliciter pour avoir une confirmation à propos d'un exercice sur les modèles en logique des prédicats.

L'énoncé est le suivant :
Soit L = { R² } et ø un énoncé de L : ø = (∀x∃y Rxy ∧ ∀z¬Rzz) Existe t'il des L-structure dont le domaine d'interprétation est fini et qui sont des modèles de ø ? Si oui, donnez un exemple, si non expliquez pourquoi.

Il me semble que oui et je donnerai l'exemple suivante.
L = { R² , a, b, c }
I(R) = { <a, b> ; <b, c> ; <c, a >}

Pensez vous que ma solution est correcte ou je fais fausse route ?

Par ailleurs, il y a une deuxième question qui est :
Soit L = { R² }, ø = (∀x∃y Rxy ∧ ∀z¬Rzz) et ψ = ∀x∀y∀z ((Rxy ∧ Ryz) --> Rxz).
Montrez qu'il existe des modèles de ø qui sont des modèles de ψ.

Pour cette question, je donnerai l'exemple :
L = { R² , a, b, c }
I(R) = { <a, b> ; <b, c> ; <a, c >}

Qu'en pensez vous ? Et (par curiosité) pensez vous qu'il existe des modèles de ø qui ne sont pas des modèles de ψ ?

Merci d'avance !

[GaBuZoMeu]

Pour le premier : tu peux même trouver un modèle à deux éléments. Vois-tu ?

Pour le deuxième : le modèle que tu donnes ne satisfait pas . Est-ce que c est en relation avec quelqu'un d'autre ?

[CurryDoux]

Hmm... je vais essayer.
L = { R² , a, b }
I(R) = { <a, b> ; <b, a>}
C'est ça ?

Ah oui je me suis trompé !
L = { R² , a, b, c }
I(R) = { <a, b> ; <b, c> ; <a, c > ; <c, b>}
Cette fois ça doit être mieux je pense

[GaBuZoMeu]

1) Oui.
2) Maintenant, ce n'est plus un modèle de .

[CurryDoux]

1) Oui.
2) Maintenant, ce n'est plus un modèle de .

1) Super !
2) Ah bon ? je ne suis pas sur de comprendre pourquoi là...
ψ = ∀x∀y∀z ((Rxy ∧ Ryz) --> Rxz)
Et ici on a Rab, Rbc et Rac. Ça c'est bon il me semble.
Et on a seulement Rcb.
Est ce qu'il serait nécessaire de rajouter <b,a> et <c,a> pour que ça soit bon ?

[GaBuZoMeu]

Puisque tu as Rbc et Rcb, tu devrais d'après avoir Rbb. Mais ceci est interdit par .

[CurryDoux]

Puisque tu as Rbc et Rcb, tu devrais d'après avoir Rbb. Mais ceci est interdit par .

Et oui... mince... Je vois pas comment faire, si j'introduis un quatrième élément d, de telle sorte qu'on ait Rcd, il faut de nouveau un élément avec lequel d est en relation, et ainsi de suite... c'est le serpent qui se mort la queue.

[GaBuZoMeu]

Ben non justement, il ne fzut pas qu'il se morde la queue !
Et c'est ainsi que tu trouveras un modèle.

[CurryDoux]

Ben non justement, il ne fzut pas qu'il se morde la queue !
Et c'est ainsi que tu trouveras un modèle.

Bon... si je garde seulement trois éléments, il me semble que ce n'est pas possible. Car si je mets c en relation avec b, on obtient Rbb et Rcc et ça ne va pas. Et si on le met en relation avec a, là aussi on a un problème parce si on a Rac, Rca, on devrait avoir Raa. Or c'est interdit.

Est ce que déjà j'ai raison de penser qu'un modèle à seulement trois éléments ne peut pas fonctionner ?

[GaBuZoMeu]

Oui, trois ne le font pas, ni quatre, ni cinq ...
Tu étais sur la bonne voie

il faut de nouveau un élément avec lequel d est en relation, et ainsi de suite

Tu peux prendre les choses par un autre bout.
dit que la relation est transitive
dit que tout élément est en relation avec au moins un autre, et pas avec lui-même.
Connaîtrais-tu un ensemble muni d'une relation vérifiant ces propriétés ?

[CurryDoux]

Oui, trois ne le font pas, ni quatre, ni cinq ...
Tu étais sur la bonne voie

il faut de nouveau un élément avec lequel d est en relation, et ainsi de suite

Tu peux prendre les choses par un autre bout.
dit que la relation est transitive
dit que tout élément est en relation avec au moins un autre, et pas avec lui-même.
Connaîtrais-tu un ensemble muni d'une relation vérifiant ces propriétés ?

Hmm à vrai dire j'ai l'impression qu'il n'existe pas de modèle de ø et de ψ dont le domaine d'interprétation est fini...

[GaBuZoMeu]

Où vois-tu qu'on te demande un modèle fini ?

[CurryDoux]

Où vois-tu qu'on te demande un modèle fini ?

dans cette question nulle part... mais je ne sais pas du tout quelle est la notation pour un domaine infini...

[GaBuZoMeu]

Connaîtrais-tu un ensemble muni d'une relation vérifiant ces propriétés ?

Je suis sûr que tu en connais un, et que tu sais comment il se note.

[CurryDoux]

Connaîtrais-tu un ensemble muni d'une relation vérifiant ces propriétés ?

Je suis sûr que tu en connais un, et que tu sais comment il se note.

Je vais réfléchir mais ne venant pas d'un cursus mathématique, je sais pas si ça va venir.

[GaBuZoMeu]

Quand on te demande un ensemble infini, au(x) quel(s) penses-tu en premier ?

[CurryDoux]

Quand on te demande un ensemble infini, au(x) quel(s) penses-tu en premier ?

Hmm les entiers naturels ou les entiers relatifs par exemple.

[GaBuZoMeu]

Et une relation sur cet ensemble pour laquelle les énoncés et sont vrais ?

[CurryDoux]

Et une relation sur cet ensemble pour laquelle les énoncés et sont vrais ?

J'ai peut être une idée. La relation d'infériorité/ de supériorité ?

[GaBuZoMeu]

À toi de voir