Mise en équation d'un problème

par **luigi_boxterplayer** » 06 Fév 2007, 17:56

bonjour, j'ai le problème suivant à résoudre:

Une entreprise fabrique deux produits P1 et P2 à l'aide d'une seule machine M qui est disponible 6h et 40 minutes par jour. Cette entreprise à la possibilité de fabriquer les deux produits mais également de les acheter à une autre société pour les revendre elle-même (sous-traitance). la capacité totale (Produits P1 et P2 cumulés) de la sous-traitance est de 380 Kgs par jour. L'entreprise se trouvant dans l'impossibilité de stocker ne désire pas preoduie des quantités supérieures à la demande. Les autres données sont regroupées dans le tableau ci-dessous.

Produit P1 P2
temps de fabrication sur machine M 2 mn/Kg 4 mn/Kg
Prix de vente 100/Kg 200/Kg
Coût de fabrication 60/Kg 180/Kg
Prix achat en sous-traitance 70/Kg 190/Kg
Demande journalière 250/Kg 200/Kg

Je ne vous demande pas la résolution du problème ce qui serai idiot, mais seulement de m'aiguiller pour la mise en forme. j'ai évidemment vu les notions d'optimisation qui s'y cachent mais tout cela est flou. :id:
merci :we:
ps:désolé pour le tableau

par **luigi_boxterplayer** » 07 Fév 2007, 09:25

je vous serait très reconnaissant de m'aider à ce sujet, et, si la seule mise en forme du problème ne vous intéresse pas, il faut ensuite par exemple donner la méthode de résolution, résoudre le pb de l'entreprise ou encore expliquer si en situation optimale l'entreprise joue simultanément les rôles de producter et de revendeur. ces questions faisant intervenir des changements de bases de matrices.
mais évidemment je n'en demande pas tant! :ptdr:
merci

par **fahr451** » 07 Fév 2007, 10:32

bonjour

ne peux tu pas toi même mettre en équations?

4 inconnues

x1 : nbre de kilos produits pour p1
x2 p2
y1 nbre de kilos sous traités pour p1
y2

ce qu'on doit maximiser

P = profit = total de vente - coût total

les contraintes :

ne pas dépasser le temps d 'utilisation d e la machine
ne pas dépasser la capacité des sous traitants
pas de stock

essaye et je regarderai

par **luigi_boxterplayer** » 07 Fév 2007, 15:02

merci fahr451, j'avais en effet penséa un genre similaire de mise en équation, en ayant nomé de facon analogue:

x1 : nbre de kilos produits pour p1
x2 p2
x3 nbre de kilos sous traités pour p1
X4

j'ai ensuite essayé d'écrire l'équation du bénéfice à partir des équations suivantes:
ventes: 100(X1+X3)+200(X2+X4)
sous traitance: 70X3+190X4
production: 60X1+180X2

j'ai donc trouvé la fonction de profit suivante:
p=40X1+20X2+30X3+10X4

il faudrait donc maximiser cette fonction sous contrainte:
temps d'utilisation de M: 2X1+4X2<400
capacité de sous traitance: X3+X4<380

et la mes problemes commencent, je suppose que le benefice étant plus avantageux en produisant avec M, on aurait donc X1+X2=400
de plus la perte de benefice étant moins importante en sous traitant p1, il serait donc plus rentable de produire en totalité p2 et de sous traiter la quantité manquante de p1. mais je trouverais alors tout de suite ma réponse sans chercher à maximiser de manière plus mathématiques (en gros ca me semble un peu simple...). de plus je sais que je vais devoir faire intervenir une matrice, très probablement par l'intermédiaire d'un système linéaire, que je ne risque pas de trouver avec des inéquations comme contraintes. :mur:
je vous suis reconnaissant de me venir en aide :happy2:

par **fahr451** » 07 Fév 2007, 16:07

tu as oublié que l entreprise devait répondre exactement à la demande pour p1 et p2 donc deux nouvelles contraintes.

par **luigi_boxterplayer** » 07 Fév 2007, 16:45

oui pardon j'ai omis de les noter, j'ai donc deux équations de demande:
pour p1: X1+X3=250
pour p2: X2+X4=200
mais meme avec ces deux équations je n'ai pas l'impression d'avoir réellement mis en forme le problème, de plus j'ai du mal à appercevoir un méthode de résolution car dans les contraintes il y a deux inéquations.

par **fahr451** » 07 Fév 2007, 16:59

finalement tu n as plus que deux inconnues x1 et x2 réecris tout en fonction de x1 et x2

et trace les droites qui correspondent à tes contraintes tu verras ton "domaine de contrainte"

la droite de profit reste paralléle à une direction fixe tu vois où est la droite de profit maxi

par **luigi_boxterplayer** » 08 Fév 2007, 19:28

si j'exprime tout en fonction de X1 et X2 ma fonction de profit sera donc je suppose dans 3 dimensions, X1, X2, et y tel que y=p(x1,x2), avec p(x1,x2)=10x1+10x2+9500. je dois donc maximiser cette fonction sous les contraintes de capacités suivantes:
x2>-x1+70 et X2<-(1/2)x2+100 so,t-elles les seules contraintes d'optimisation? de fait la seconde n'est elle pas la plus importante? j'ai essayé de résoudre le pb av la méthode de lagrange en transformant la première inéquation en équation, mais je n'aboutit à rien...

je m'excuse du fait que ce problème doit vous sembler trop concret et donc peut intéressant pour les vrais amoureux des maths :jap: .

par **fahr451** » 08 Fév 2007, 19:53

bonsoir je n ai pas vérifié tes calculs

dans le plan x1 x2 dessine le domaine définis par tes contraintes

x1+x2 >= 70 , x1+1/2 x2 =<100 0=
0=
trace une droite d'équation

10x1+10x2 +9500 = y avec y fixé

quand y "bouge" la droite se déplace en restant parallèle à une direction fixée , et graphiquement regarde pour quel y maximal la droite coupe encore le domaine

Mise en équation d'un problème

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