Minimisation d'une fonction 3 variables

[marc-antoine]

Bonsoir tout le monde,
je suis nouveau sur ce forum, et je suis en première année de prépa MPSI.
Je rencontre un problème avec une fonction que je me suis défini.
Il s'agit d'une fonction de trois variables x,y,z, très très simple et je cherche à la minimiser sous une certaine contrainte. C'est à dire si j'ai bien compris trouver parmi tout les triplets (x,y,z) vérifiant une certaine condition C(x,y,z) le triplet (x0,y0,z0) tel pour tout x,y,z variant ici dans R+* et verifiant C : f(x0,y0,z0)<=f(x,y,z)
Disposant de très peu d'outils je me suis renseigné sur la méthode de lagrange et celle de substitution mais en vain, je n'y suis pas parvenu. Ma fonction est-elle trop simple? Pouvez-vous m'aider?
Voici ma fonction en gros:
(R+*)^3---->R (x,y,z)---->Ax+By+Cz+K (A,B,C,K des constantes)
et mes conditions sont: x+y+z=cst(ici D par exemple) de plus d'autres conditions me permettrons de ne garder qu'un seul triplet. (par exemple x,y et z variant dans un intervalle fermé).
Merci d'avance!

[Ben314]

Salut,
Ben là, vu la fonction et la contrainte, on peut pas dire qu'il y ait besoin d'une quelconque théorie (sans parler du fait que, vu que très clairement le minimum va être "dans un coin" de ton domaine, la théorie ne va pas du tout s'appliquer...)
Le fait que x+y+z=D signifie que z=D-x-y ety le fait que z>0 signifie que x+y<D.
Donc tu cherche le min de Ax+By+C(D-x-y)+K=(A-C)x+(B-D)y+CD+K sur le triangle x>0, y>0, x+y<D.
Donc, pour y fixé (entre 0 et D), tu cherche le min de la fonction affine x->(A-C)x+Cst sur l'intervalle ]0,D-y[ et, si on a des inégalités strictes comme tu l'a imposé avec ton R+*, c'est fini : y'a pas de minimum
Si on met des inégalités larges, alors, trivialement, le min est atteint soit en x=D-y, soit en x=0 selon que A-C est positif ou négatif et il n'y a plus qu'à reporter ce x_min dans (A-C)x+(B-D)y+CD pour avoir de nouveau une bète fonction affine à étudier sur un intervalle donc le minimum sera une des extrémités de l'intervalle.

En bref, il y a besoin de zéro théorie dans un cas pareil et ton min, dans le cas où on modifie l'énoncé pour avoir des inégalités larges (sinon, y'a pas de min) il sera atteint pour (x,y,z)=(0,0,D) ou bien (0,D,0) ou bien (D,0,0).

[marc-antoine]

Merci, c'est effectivement ce que je me disais une étude triviale d'une situation triviale finalement.
sans doute ai-je mal modélisé la situation qui m'intéressait.
Je vous remercie pour votre aide, bonne soirée