Métrique modifiée

[Trident]

Bonsoir,

soit un espace métrique fini de distance .

Comment modifier de sorte que les distance soient rationnelles mais tout étant étant très proches des distances originelles.

Bon, si on veut des distance écarts plus petit que , c'est pas bien difficile, on peut aller suffisamment loin dans les décimales des et puis couper à un endroit et mettre que des 0 ou que des 9.

Mais le problème, c'est que si je modifie mes distances n'importe comment, je risque de ne plus satisfaire l'inégalité triangulaire ? Comment faire ça proprement ?

Je vous remercie par avance.

[L.A.]

Bonsoir,

je crois que si f est une fonction de R_+ dans lui même vérifiant certaines condition simples (du type concavité) alors pour toute distance d de X dans R_+, fod est aussi une distance topologiquement équivalente (c'est utile pour passer à une distance finie par exemple). Tu peux sans doute choisir f qui fait ce que tu veux.

[Trident]

Merci pour ta réponse.

Tu peux sans doute choisir f qui fait ce que tu veux.

Comment du coup ? :zen:
En fait, s'il existe une preuve qui montrerait que c'est possible de construire une telle distance sans l'expliciter, c'est encore mieux !

[Doraki]

Je note m= (N²-N)/2 = le nombre de réels qu'il faut choisir pour définir ta distance.

L'ensemble des m-uplets (d(x1,x2),d(x1,x3),...,d(x(N-1),xN)) qui définissent une distance est un fermé convexe D de R+* ^m.

Si ta distance est dans l'intérieur de D (si les inégalités triangulaires sont strictes), alors par densité de Q^m dans R+*^m, tu as une distance rationnelle tout proche de d.

Et puis même si ta distance est sur le bord de D, c'est pas bien différent.
Comme l'ensemble des distances est convexe, tu peux fixer une distance d0 à l'intérieur, et prendre d' = (d+ ;)d0)/(1+;)). Alors d' est dans l'intérieur de D et peut être pris arbitrairement proche de d, et tu peux encore une fois prendre une distance rationnelle arbitrairement proche de d'.

[Ben314]

L'idée est bonne, mais formellement, c'est pas bon : il est possible que le segment [d,d0] ne contienne aucun point à coordonnées toutes rationnelles.
D'ailleurs, là où on voit que ça déconne, c'est que, si le convexe fermé D était d'intérieur vide dans R+* ^m la propriété en question risquerait de ne plus être vrai.
Donc il faut légèrement modifier le truc en disant que D n'est pas d'intérieur vide puis "remplacer" le point d0 par un ouvert U contenu dans D et terminer en disant que le "cône" formé des d' = (d+ t.d0)/(1+t) avec t dans ]0,epsilon[ et d0 dans U est un ouvert (non vide) de R+* ^m donc contient des points à coordonnées rationnelles.

Vu qu'on peut "expliciter" un U, à savoir une boule ouverte de centre (1,1,...,1) et de rayon assez petit, on doit même pouvoir quasi "expliciter" une solution.

[Trident]

Merci pour vos réponses mais j'ai quelques interrogations. Je vais essayer de tout démontrer. Premièrement, D est bien convexe, pas de souci. Mais du coup, on s'en fiche de savoir qu'il est fermé ? Ce qui nous intéresse, c'est juste de savoir qu'il est d'intérieur non vide?

Ensuite, pour montrer que D est d'intérieur non vide, peux tu être plus précis Ben ? J'ai bien compris pourquoi (1,..1) est dans D (c'est la distance discrète!) mais qu'entend tu par rayon assez petit ? En particulier, quelle est la norme la plus judicieuse à mettre sur R+*^m ici, norme 1 ou euclidienne ?


Puis, c'est sûrement tout bête mais pourquoi le cône que tu définis est un ouvert de D ? (dans D ok c est par convexité).

Enfin, quand on a reussi à dire qu il existe t tel que d'=(d+td0)/(1+t) est à coordonnées rationbelles, comment montrer que d-d' < epsilon ? Car du coup d-d'= t(d-d0)/(1+t). Faut d'abord se placer dans un intervalle encore plus petit de ]0,epsilon[ de sorte que tous les d-d' soient assez petit et de refaire le même raisonnement qu'avant en construisant le cône et en disant que c'est un ouvert?

[Ben314]

a) La norme on s'en fout pas mal pour raisonner vu qu'elle sont toutes équivalentes sur R^m (donc si tu veut absolument en prendre une, ben... tu prend n'importe laquelle...)
b) Certes, si on prend (1,1,...,1) dans le fameux R^m, ça veut en fait dire qu'on prend d(x_i,x_j)=1 pour tout i différent de j. Mais je suis pas persuadé que ce soit très pertinent d'appeler ça la "distance discrète" vu que, quoi qu'on prenne (de >0) comme distance entre les point, ça fera de toute façon une distance discrète (au sens que toute partie sera à la fois ouverte ou fermée).

Le truc, c'est plutôt de voir que la partie D, elle est définie par des tas d'inégalités toutes de la forme d_ik<=d_ij+d_jk et que si tu prend tout les d_ij "proches" de 1, par exemple tous dans ]2/3,4/3[, toutes les inégalités seront évidement vérifiées. Ça prouve que ]2/3,4/3[^m est contenu dans D et donc que D est d'intérieur non vide (en fait, l'intérieur de D, c'est les m-uplets (dij) tels que toutes les inégalités soient strictes et le premier truc qui m'est venu à l'esprit avec des inégalités strictes partout, c'est de prendre tout les dij égaux à 1 vu que 1<1+1)

[Trident]

a) La norme on s'en fout pas mal pour raisonner vu qu'elle sont toutes équivalentes sur R^m (donc si tu veut absolument en prendre une, ben... tu prend n'importe laquelle...)
b) Certes, si on prend (1,1,...,1) dans le fameux R^m, ça veut en fait dire qu'on prend d(x_i,x_j)=1 pour tout i différent de j. Mais je suis pas persuadé que ce soit très pertinent d'appeler ça la "distance discrète" vu que, quoi qu'on prenne (de >0) comme distance entre les point, ça fera de toute façon une distance discrète (au sens que toute partie sera à la fois ouverte ou fermée).

Le truc, c'est plutôt de voir que la partie D, elle est définie par des tas d'inégalités toutes de la forme d_ik<=d_ij+d_jk et que si tu prend tout les d_ij "proches" de 1, par exemple tous dans ]2/3,4/3[, toutes les inégalités seront évidement vérifiées. Ça prouve que ]2/3,4/3[^m est contenu dans D et donc que D est d'intérieur non vide (en fait, l'intérieur de D, c'est les m-uplets (dij) tels que toutes les inégalités soient strictes et le premier truc qui m'est venu à l'esprit avec des inégalités strictes partout, c'est de prendre tout les dij égaux à 1 vu que 1<1+1)

Ah oui, c'est plus clair. Du coup, j'ai deux dernières questions, j'ai actualisé mon dernier message. C est a propos du fait que le cone est bien un ouvert (je sens que c'est tout bête, car ]0,epsilon[ est ouvert) et puis pour montrer que les distances sont bien proches.

[Ben314]

Perso, je dirais plutôt que c'est parce que U est ouvert que le cône est ouvert (surtout vu qu'un segment de R^m, même "ouvert", en c'est pas une partie ouverte de R^m...)

Pour t>0 fixé, l'application de F_t:R^m->R^m;x->(d+t.x)/(1+t) est clairement un homéomorphisme donc F_t(U) est ouvert et le cône, c'est la réunion des F_t(U) pour t dans ]0,epsilon[ donc c'est une réunion d'ouverts.
(et ça montre que si on avait pris t dans un intervalle fermé de R*+, ben le truc il aurait quand même été ouvert...)

Ensuite, si t->0, F_t(n'importe quoi) tend vers d donc d est dans l'adhérence du cône et l'intersection de tout voisinage ouvert de d avec le cône est un ouvert non vide donc contient un point à coordonnées toutes rationnelles.

[Trident]

Ok, merci !