Méthode d'Euler pour la résolution de l'équation Alembert

[Nul64]

Bonjour,
Je ne comprends pas comment on arrive à calculer les dérivées partielles premières puis secondes suite aux changements de variables et .

Par exemple je ne comprends pas la manière dont on décompose :

. En effet, pour moi je vois écrit

puisque l'on décompose deux fois

. Pourtant ce résultat est juste et j'ai vu un exemple sur internet où il était montré que l'on ne devait pas raisonné comme ça à partir d'un exemple : et où l'on voit bien qu'on ne retombe pas sur 1 comme j'aurais pu m'y attendre. J'aimerais donc savoir quelle est la règle qui nous permet de décomposer de cette façon.

Aussi je n'ai pas du tout compris comment on calcule la dérivée seconde à partir du premier résultat

Merci de bien vouloir m'aider,

Cordialement.

[zygomatique]

salut

f = f(x, y) = f(x(u, v), y(u, v))

dérivée d'une fonction composée : df/du = (df/dx) * (dx/du) + (df/dy) * (dy/du)

...

[Nul64]

J'ai du mal à comprendre Zygomatique je ne vois pas d'où tu "sors" la formule que tu avances. En plus on a ici une fonction à deux variables qui dépendent elles-mêmes de deux variables.

[zygomatique]

vu que dans ton énoncé on ne sait pas qui est variable de qui .... (bon c'est faux) mais et pour utiliser des "lettres classiques" ...

[Nul64]

Ok d'accord pour la dérivée première mais pour la dérivée seconde je vois pas comment on s'y prend.
On a .

Petite clarification

On a

.

Merci de m'aider,
Bien à vous.

[zygomatique]

avec mes notations (pourquoi m'em.. avec des lettres grecques ?)

f = f(x, y) = f(x(u, v), y(u, v))

dérivée d'une fonction composée : df/du = (df/dx) * (dx/du) + (df/dy) * (dy/du)

or x(u, v) = u - tv et y(u, v) = u + tv donc dx/du = dy/du = 1

donc df/du = df/dx + df/dy

(d/du)[df/du] = (d/du)[df/dx] + (d/du)[df/dy] = d²f/dx² dx/du + d²f/dy² dy/du = d²f/dx² + d²f/dy²

...

[Nul64]

Je ne comprends toujours pas, qui plus est le résultat obtenu n'est pas le même que dans mon cours puisqu'il y a un terme en plus : .

La dérivée première s'obtient directement en appliquant cette formule que j'ai trouvé sur internet (voir fichiers annexes) mais je ne sais pas comment on l'applique à la derivée première.

Merci de ta patience zygomatique.

[zygomatique]

ce que j'ai écrit pour pour df/du est en conformité avec la proposition ...

oui effectivement df/dx est une abréviation de df/dx(x, y)

donc (d/du)([df/du) = (d/du)[df/dx(x, y) + df/dy(x, y)] = (d/dx)(df/dx)(dx/du) + (d/dy)(df/dx)(dy/du) + (d/dx)(df/dy)(dx/du) + (d/dy)(df/dy)dy/du = d²f/dx² + 2d²f/dxdy + d²f/dy²

....

[Razes]

.

Evite de confondre le d droit (\mathrm{d}) et le d rond (\partial)

[Nul64]

Je suis complétement perdu !

oui effectivement df/dx est une abréviation de df/dx(x, y)....

Qu'est-ce que ta phrase veut dire ? Je ne comprends pas

Et pourquoi utilises-tu des d droits et non des d ronds comme on le fait pour les dérivées partielles.

Je ne veux pas abuser de ta patience. Aussi excuse moi si je ne comprends pas.

[zygomatique]

pour ne pas me fatiguer

ben df/dx c'est une fonction !! donc elle s'applique à des variables ...

comme en dimension 1 : f(x) = 3x² + 5x donc f'(x) = df/dx(x) = 6x + 5 est une fonction ...

[Kolis]

Bonsoir !

Faire le soi-disant "changement de variables" c'est en fait "composer des fonctions" :
et la première relation à connaître est avec une notation contestable : dans les lettres n'ont pas le même statut. L'une (celle dans ) est une composante d'un couple de réels), l'autre (celle dans ) est juste un numéro, celui de ce qui a été choisi comme première variable.

En prenant le temps (ce que je ne fais pas dans la suite) de noter les fonctions etc... on aurait une relation s'exprimant comme somme de deux produits de fonctions ce qui permet de dériver une deuxième fois.
Et on aurait :



puis en reprenant la formule du début en remplaçant par

et de même en reprenant la formule du début en remplaçant par tu vois apparaître les dérivées doubles de (comme tu le voudrais)
En revanche, pour ton changement de variables linéaire les dérivées secondes de sont nulles.

En espérant ne pas avoir laissé d'erreurs, pas facile de taper du LaTex sur un éditeur de forum.