Méthode des moindres carrés

[stevehewitt]

Bonjour,

Comment déterminer l'équation de la droite de régression de y en x pour la série suivante, par la méthode des moindres carrés :

x 2 5 9 12 15 20 25 28
y 12 16 20 21 17 32 35 39

Et quel est le coefficient de corrélation linéaire?

Merci

[kazeriahm]

Si tu sais ce que veut dire methode des moindres carres, c'est pas bien complique. Si tu n'as aucun cours sur le sujet, Wikipedia est ton ami.

[mathelot]

bonsoir,

on dispose de 8 points de coordonnées
l'indice i variant de 1 à 8.

l'idée n'est pas de trouver une droite minimisant
la (somme des) distance des points à celle-çi (une droite qui passerait au plus juste) car la distance d'un point à une droite est



ie, une expression en a et b avec valeur absolue, donc pas
nécessairement dérivable.

On résoud donc un problème qui lui ressemble un peu, mais
qui lui, fait intervenir des fonctions dérivables !


on minimise la somme des "distances" verticales des points à la droite
de régression.
On suppose que cette droite de régression, inconnue, a une équation de la forme y=ax+b

on doit minimiser la somme
parmi toutes les valeurs possibles pour a et b.


Remplace donc les par leurs valeurs.
On obtient un trinome du second degré en a et b.

Annule la fonction dérivée relativement à , b fixé inconnu, puis la dérivée relativement à (a fixé).

on obtient un système 2x2 d'inconnues a et b.

remarque: il faut développer l'identité (a+b+c)^2
qui vaut

on s'en aperçoit en posant d=b+c , en développant

[JJa]

Bonjour,

excusez-moi de nuancer fortement l'affirmation de mathelot :
>
Mais si, on peut, si on le souhaite, trouver une droite minimisant la somme des distances des points à celle-çi. C'est un tout petit peu plus compliqué que de minimiser la somme des "distances verticales" ou celle des "distances horizontales" : C'est au choix du client !
On trouve les calculs respectifs à ces différents choix de régressions linéaires par moindres carrés dans tous les ouvrages "basiques" de statistiques.
Un résumé des formules correspondantes et donné au paragraphe 3 de l'article suivant :
http://www.scribd.com/people/documents/10794575-jjacquelin
Dans la liste, sélectionner l'article : Régressions coniques, quadriques. régressions linéaires et apparentées,...
( il ne s'agit pas de l'autre article : "Régressions et équations intégrales" qui s'applique à des cas plus compliqués)