Méthode de Cardan

[mehdi-128]

Bonsoir,

Soient et des réels. On s'intéresse à l'équation suivante :



1/ La méthode de Cardan consiste à trouver 2 nombres et tels que soit une racine de

a/ Montrer qu'il suffit d'avoir et
J'ai réussi cette question :


D'où :

b/ Vérifier que et sont alors racines d'une équation d'une second degré qu'on précisera.

Pas compris cette question

[mathelot]

bonsoir,
soient deux réels x et y
On suppose connus leur somme S et leur produit P
x et y sont les solutions de l'équation d'inconnue X:


preuve:
x et y sont solutions de l'équation

[mehdi-128]

Je n'ai rien compris.

[aviateur]

Si tu connais et 3 uv donc aussi uv et donc

En posant X=u^3 et , tu connais donc S=X+Y et P=XY donc tu peux les calculer en résolvant une équation de degré 2.

[mehdi-128]

Montrons que et sont solutions de avec

D'après le cours et sont racines de cette équation si et seulement si :

et

En utilisant votre indication Aviateur, posons : et

On a :

Et :

Mais je vois pas comment trouver On a 2 équations et 3 inconnues

[aviateur]

mais a=1. !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

[mehdi-128]

Comment savez-vous que a=1 ? C'est le détail qui m'échappe...

[aviateur]

Ton equation tu l'a prends à un facteur près autant prendre a=1
et puis @mathelot t'a donné l'équation!

[mehdi-128]

Sinon cela vient du fait que si on pose : et alors et sont racines de :

Je trouve l'équation : (E)

Par contre un détail m'interpelle :

Il faut montrer que :
Donc il faut montrer que sont des réels mais je vois pas comment faire

Car la suite est :

Trouver la solution réelle de

Pour cela il faudrait montrer que :

( et ) ( et sont racines de (E) )

[aviateur]

Je crois que tu n'as pas compris. C'est pas u et v racines de E mais u+v racine de E
Avec ton exemple
x^3 - 6x +9=0 il faut u^3+v^3=-9 et 3u v= 6 , i;e u v =6 mais c'est u+v qui est racine.
Donc ici il faut prendre v=2/u. Ce qui donne u^3+8/u^3=-9.
Tu as ton équation de degré 2 qui te donne u^3, puis u,v et donc u+v.

[mathelot]

Je n'ai rien compris.

On calcule la somme et le produit

Ce qui conduit à une équation du second degré d'inconnues et

Ensuite on doit se débrouiller pour calculer u et v.

Une solution de l'équation de degré 3 est u+v.

[mehdi-128]

Je vois la méthode. Mais je n'ai pas compris c'est où qu'on a montré l'implication suivante :

( et sont alors racines d'une équation d'une second degré ) ( est racine de )

[aviateur]

Il faut prendre les choses dans l'ordre qui t'es donné:

On pose x=u+v telle que f(x)=f(u+v)=0. Si u^3+ v^3 =-q et 3uv=-p. La question 1) montre que u+v est racine de E.

Il faut donc chercher (u,v) tel que u^3+ v^3 =-q et 3uv=-p. Mais cela revient à résoudre une équation de degré 2 de la Forme X^2-SX+P=0

[mehdi-128]

Pour le calcul je trouve :

En posant on a :

Ou encore :

Soit :

Donc :

L'équation admet 2 solutions qui sont

Donc

[mehdi-128]

Il faut prendre les choses dans l'ordre qui t'es donné:

On pose x=u+v telle que f(x)=f(u+v)=0. Si u^3+ v^3 =-q et 3uv=-p. La question 1) montre que u+v est racine de E.

Il faut donc chercher (u,v) tel que u^3+ v^3 =-q et 3uv=-p. Mais cela revient à résoudre une équation de degré 2 de la Forme X^2-SX+P=0

Ah d'accord.

"Cela revient" signifie qu'il y a équivalence ? D'où provient cette équivalence ? Du cours ?

Dans mon cours il est écrit :

Soit

et sont racines de si et seulement si :

et

[aviateur]

Ah d'accord.

"Cela revient" signifie qu'il y a équivalence ? D'où provient cette équivalence ? Du cours ?

Encore un dérapage.

Il y a équivalence entre quoi et quoi?

D'ailleurs quand je dis "cela revient.....blabla" c'est une circonlocution qu'il faut comprendre à bon escient.

[mehdi-128]

Dans la question 1 on a montré l'implication :

( et ) ( est une racine de )

Dans la question 2 on a montré que :

( et ) ( et sont solutions d'une équation de degré 2)

Ou bien pour la question 2 il y a équivalence ?

Car pour la question 3 j'ai besoin de l'implication suivante :

( et sont solutions d'une équation de degré 2) ( est une racine de )

[mehdi-128]

Car mon livre écrit pour la question 2 :

Comme sont supposés réels (en fait on l'a démontré dans l'exercice précédent) la relation est équivalente à :

Il suffit alors que :

Pas compris pourquoi on doit justifier qu'il y a équivalence ici

[aviateur]

Tu as le don de tout déformer ou quoi ?
Est solution d'une equation ça veut pas dire n'importe qu elle équation.

[tournesol]

Mehdi , ton exo n'est pas aussi ambitieux que tu semble le croire .
On ne te demande surtout pas de résoudre toute équation du type Epq .
Dans la première question , tu as montré que
(u^3+v^3=-q et 3uv=-p) implique (u+v est racine de Epq) (1)
Dans la deuxième question , on te donne une méthode pour esperer trouver u et v , et je dis bien espérer , car tu n'auras que u^3 et v^3 , obtenus avec la condition u^3 v^3 =-p^3/27 .
Par chance , la fonction cube étant bijective sur R , cette condition est equivalente sur R à 3uv=-p .
C'est pour cela que le delta de ton équation du second degré t'a été donné positif (egal à 49) .
Ton exo n'a que des objectis simples .
tu calcules U^3 et v^3 , tu obtiens -8 et -1 dont les racines cubiques réeles sont -2 et -1 .
On a bien 3uv =6 . Donc d'après (1) , u+v=-3 est racine de E(-6)9 .