Méthode de Cardan

[tournesol]

Pour que tu comprennes les limites logiques de la méthode de Cardan , je résous complètement ton équation E(-6)9
Les racines cubiques de -8 , sont -2 , -2j , -2j^2 . Notons a l'une d'entre elles .
Les racines cubiques de -1 sont -1 , -j , -j^2 . Notons b l'une d'entre elles .
On a toujours a^3 b^3 = -p^3/27 , mais certainement pas ab=-p/3 .
On a seulement les paires {-2 ,-1} , {-2j,-j^2} , et {-2j^2,-j} qui donnent les trois racines -3 , -2j-j^2=1-j , et -2j^2-j=2+j

[mehdi-128]

Mehdi , ton exo n'est pas aussi ambitieux que tu semble le croire .
On ne te demande surtout pas de résoudre toute équation du type Epq .
Dans la première question , tu as montré que
(u^3+v^3=-q et 3uv=-p) implique (u+v est racine de Epq) (1)
Dans la deuxième question , on te donne une méthode pour esperer trouver u et v , et je dis bien espérer , car tu n'auras que u^3 et v^3 , obtenus avec la condition u^3 v^3 =-p^3/27 .
Par chance , la fonction cube étant bijective sur R , cette condition est equivalente sur R à 3uv=-p .
C'est pour cela que le delta de ton équation du second degré t'a été donné positif (egal à 49) .
Ton exo n'a que des objectis simples .
tu calcules U^3 et v^3 , tu obtiens -8 et -1 dont les racines cubiques réeles sont -2 et -1 .
On a bien 3uv =6 . Donc d'après (1) , u+v=-3 est racine de E(-6)9 .

Le détail qui me tracasse est : a-t-on équivalence ? Ou après avoir résolu l'équation du seconde degré il faut encore vérifier que : et ?

[mehdi-128]

@Tournesol.

Mon exercice s'intéresse qu'aux solutions réelles et dans un exercice précédent on a démontré que en posant :
Si alors l'équation possède 3 racines réelles.
Si alors l'équation possède 1 racines réelle.
Si : si on a une unique solution qui est et si on a 2 racines.

En revenant à notre exercice, la dernière question que j'ai résolu est :

Dans le cas où donner la seule racine réelle de

J'ai fait :

Calculons les racines de

Son déterminant vaut

Cette équation possède 2 racines réelles qui sont : et

L'unique racine de est donnée par :

[tournesol]

D'accord avec toi pour ton dernier message .
Pour l'avant dernier , tu as bien vu qu'on n'a pas equivalence puisque sur 9 produits calculés , seuls 3 verifiaient la conditition 3uv=-p . L'autre conditiln est vérifiée pusque u^3 et v^3 sont les racines de ...
Felicitations Mehdi ; tu essaie de comprendre et tu ne laches rien .

[mehdi-128]

Alors pourquoi il est écrit dans mon livre la remarque suivante :

Comme sont supposés réels, la relation est équivalente à :

Comment on sait que sont supposés réels

[aviateur]

Un nombre réel (non nul) admet 3 racines cubiques dont une seule est réelle.!!

[tournesol]

La fonction cube est une bijection de R sur R , donc elle est injective ie deux reels qui ont la même image sont égaux.
Donc deux reels qui ont le même cube sont égaux .
Or les réels uv et ont le même cube , donc ils sont égaux.
La réciproque est évidente: deux nombres égaux ont le même cube .

[mehdi-128]

Oui j'ai compris je suis d'accord on sait qu'il existe des solutions réelles donc x est un réel. Mais qui nous dit que u et v sont réels ? On a x=u+v. On peut avoir u et v complexes et x réel non ?

Le point bloquant est : comment on sait que u et v sont des réels ?

[aviateur]

Il n'y a pas de point bloquant. En effet qui a dit que u et v sont réels?
Une équation du second n'a pas forcément des racines réelles, à ma connaissance.

[mathelot]

..

[mehdi-128]

Après même si y a pas équivalence c'est pas grave suffit de vérifier que la solution de l'équation du second degré vérifie bien les 2 conditions. Puis ici l'exo se restreint aux solutions réelles.

Mathelot comment savez vous que u et v sont pris conjugués ?

[mathelot]

Calculons les racines de

Son déterminant vaut

Cette équation possède 2 racines réelles qui sont : et

L'unique racine de est donnée par :

ces formules sont fausses...si on rentre le dénominateur 2 dans la racine carrée, il n'y a plus de facteur 4 devant p^3:

les formules exactes sont:

Cette équation possède 2 racines réelles qui sont : et

L'unique racine de est donnée par :

[mehdi-128]

Oui bien vu erreur de frappe ! Le p^3 n'est pas multiplié par 4.

[mathelot]

Mehdi, aurais-tu le courage de répercuter la modif sur les quelques formules de racines cubiques, il s'agit de remplacer le 4 devant p^3 par 1...merci d'avance