Méthode de Box-Müller / Changements de variables

[vanderdonckt]

Bonjour,

Je cherche à montrer la méthode Box-Müller, à savoir que si et sont des variables aléatoires indépendantes de loi uniforme sur , les variables aléatoires et sont indépendantes de loi normale centrée réduite.

Pour cela, je montre que, pour toute fonction borélienne bornée , .

On a
J'étais tout d'abord tenté de poser "brutalement" et , mais je ne voyais ensuite pas du tout comment écrire la formule de changement de variable dans ce cas...

Alors, comme on nous avait expliqué en cours "l'intuition" avec les coordonnées polaires, je suis parti de l'intégrale et j'ai d'abord posé
et , avec et .
J'obtiens .
Puis je pose et avec .
On a .
Et là, je retrouve comme par magie la première intégrale

Mais ça ne paraît un tantinet astucieux comme manière de procéder (il fallait penser aux coordonnées polaires). Aussi, y-a-t-il moyen de monter cette égalité avec un unique changement de variable ? Le changement de variables que j'envisageais au début aurait-il pu aboutir ? Si oui, comment écrire la formule de changement de variable dans ce cas précis ? J'ai toujours eu beaucoup de mal à manier cette formule...
(Pour le dernier changement de variables, j'ai procédé en "mimant" le passage en coordonnées polaires, puisque nous avons affaire au "même type" de changement de variables....)

[Yezu]

Salut,

As-tu essayé d'utiliser les formules de changements de variables avec la matrice Jacobienne de la transformation propice ?

[arnaud32]

https://fr.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9th ... Box-Muller

[vanderdonckt]

Bonjour,

En fait, je connais (par coeur) la formule de changement de variable avec le jacobien du difféomorphisme associé, mais j'ai toujours beaucoup de mal à l'appliquer "en pratique", d'où ma question.
Je me doute bien que c'est cette formule qu'il faut appliquer, mais je ne vois pas comment écrire la chose...

[Yezu]

Soit l'application :
.
La matrice jacobienne de cette transformation est :
.
À noter que dans ce changement de variable, on a plutôt besoin du déterminant jacobien de . Tu pourras notamment conclure que : . Tu as tout pour continuer; mais si tu bloques quelque part, n'hésites pas à demander !