Mesure sur la sphère unité (Sujet agrégation)

[goupil59]

Bonjour,

Voilà, j'essaie de faire le sujet d'agrégation externe de 2006 (du moins la partie qui concerne la théorie de la mesure).
J'ai recopié l'intro de la partie concernée ainsi que certains résultats établis précédemment (avant le morceau qui me pose problème) afin de situer le cadre mais voici quand même le sujet en question : https://agreg.org/sujets/M06AD2E.PDF

En gros voici la partie concernée :

Partie II

Dans cette partie, n est un entier fixé (n > 3).
On construit une mesure sur la sphère , héritée de la mesure de Lebesgue .
Pour toute partie A ⊂ , on définit le cône engendré par A comme l’ensemble C = {t.x | t ∈ [0,1], x ∈ A}.
Lorsque C est mesurable, on pose alors avec la boule unité.
On a en particulier

On montre que, pour h>0, (1) (question A-1).
Ca, c'est ok.

Là où je bloque, c'est à la partie B (Balayages orthogonaux) (page 4):

A la question 2-a-(i), dans le corrigé (http://dyna.maths.free.fr/docs/annales_agreg/2006/agreg_2006_analyse_proba_corrige.pdf), on montre que

où
Ca, c'est ok aussi
Mais par contre, après, on dit que d'après l'égalité que j'ai appelée (1) (ou la question A-1 dans le sujet), on a, à rotation près,

Et là, je bloque. Cela voudrait donc dire, si je comprends bien, que, si , l'une de ses coordonnées au moins est dans (i.e. de valeur absolue , pour que l'on puisse appliquer (1) ??? Mais je ne vois vraiment pas pourquoi. J'ai essayé de montrer ça par l'absurde, de façon directe ... mais ça n'aboutit jamais

Quelqu'un pourrait-il m'aider svp ?

Merci d'avance !

[Ben314]

Salut,
"à rotation prés" (comme dit le corrigé), tu peut supposer que a=(1,0,0,...0) et dans ce cas, c'est la première coordonnée de .

[goupil59]

Salut,

Merci pour ta réponse.

Ok, mais si l'on veut montrer que tout point a de F satisfait (1), c'est sur les coordonnées de a qu'il nous faut une majoration, non ?
Ou alors c'est pour que l'on suppose ? Mais là
le problème c'est que, du coup, la rotation dépend de t, non ?

[Ben314]

Mais là le problème c'est que, du coup, la rotation dépend de t, non ?

Absolument pas : tu fait une bonne fois pour toute une rotation qui envoie a sur (1,0,...,0) et c'est tout (évidement, tu "rotate" aussi ta courbe gamma pour que ta nouvelle configuration soit la même que l’ancienne "à rotation prés")

[goupil59]

Mais là le problème c'est que, du coup, la rotation dépend de t, non ?

Absolument pas : tu fait une bonne fois pour toute une rotation qui envoie a sur (1,0,...,0) et c'est tout (évidement, tu "rotate" aussi ta courbe gamma pour que ta nouvelle configuration soit la même que l’ancienne "à rotation prés")

Oui mais du coup ça nous donne que . Or, pour pouvoir appliquer (1), il faut ce type d'information sur a (élément de F) non ?

[Ben314]

Oui, le "nouveau" gamma(t) (après rotation), il vérifie effectivement ça.
Par contre je comprend pas la question : une fois qu'on a fait la rotation, le vecteur "a" devient (1,0,0,...,0) et dans la question II.A.1), je vois pas à quel endroit tu as besoin d'une information concernant ce "a".

Sinon une autre façon de dire très exactement la même chose, au lieu de dire qu'on raisonne "à rotation près", c'est de dire qu'on raisonne "à changement de base orthogonale prés" (*) et qu'on prend "a" comme premier vecteur de la nouvelle base donc que le <gamma(t) | a> c'est la première coordonnée de gamma(t).
Bien que ce soit exactement la même chose que l'autre point de vue, peut-être que ça te conviendra mieux avec celui là où la seule chose qu'on fait tourner, c'est le référentiel.

(*) Ce qui change les coordonnées de gamma(t) mais ne change rien en ce qui concerne tout ce qui est "métrique", par exemple les normes de gamma'(t) et de gamma''(t) et leur sup.

[goupil59]

Oui, le "nouveau" gamma(t) (après rotation), il vérifie effectivement ça.
Par contre je comprend pas la question : une fois qu'on a fait la rotation, le vecteur "a" devient (1,0,0,...,0) et dans la question II.A.1), je vois pas à quel endroit tu as besoin d'une information concernant ce "a".

Sinon une autre façon de dire très exactement la même chose, au lieu de dire qu'on raisonne "à rotation près", c'est de dire qu'on raisonne "à changement de base orthogonale prés" (*) et qu'on prend "a" comme premier vecteur de la nouvelle base donc que le <gamma(t) | a> c'est la première coordonnée de gamma(t).
Bien que ce soit exactement la même chose que l'autre point de vue, peut-être que ça te conviendra mieux avec celui là où la seule chose qu'on fait tourner, c'est le référentiel.

(*) Ce qui change les coordonnées de gamma(t) mais ne change rien en ce qui concerne tout ce qui est "métrique", par exemple les normes de gamma'(t) et de gamma''(t) et leur sup.

Bah obtenir que en appliquant (1), il faut montrer que , i.e. que ... Je ne comprends pas en quoi une information sur pourrait nous aider à obtenir la majoration voulue...

[Ben314]

Bah obtenir que en appliquant (1), il faut montrer que , i.e. que ... Je ne comprends pas en quoi une information sur pourrait nous aider à obtenir la majoration voulue...

Ben là, forcément je comprend que... tu y comprenne rien... :
Si pour décrire une inclusion ensembliste, tu choisi comme nom de lettre (pour décrire l'ensemble inclus dans l'autre) une lettre (à savoir ) qui apparais déjà dans l'énoncé et qui sert à autre chose, ben c'est sacrément mal barré.

Donc, effectivement, ce que tu doit montrer, c'est que :

Sauf que c'est pas forcément futé de l'écrire comme ça (i.e. avec un tel charabia) vu que ce que ça dit, c'est juste que les premières coordonnées des vecteurs de doivent être, en valeur absolue, majorées par .
Et la première coordonnée d'un vecteur, c'est quoi ?
Ben c'est le produit scalaire du vecteur avec le premier vecteur de la base épicétout.
Et si tu as fait un changement de base, ben tu peut considérer que ce "premier vecteur", c'est en fait le vecteur donc l'hypothèse dont tu as besoin, c'est que

[goupil59]

Oui mais alors là du coup j'ai beau retourner le problème dans tous les sens, je ne vois pas le rapport avec l'ensemble F de départ...

Dans cette question, a n'est même pas fixé... Du coup, si a ne fait pas référence aux éléments de F, à quoi fait-il référence ?
En quoi le fait que (definition de ) impliquerait-il ?

[Ben314]

Bon, depuis le temps, j'ai complètement oublié le bidule et je me rappelle plus de mes posts précédents (en particulier le dernier, je me demande si je me suis pas embrouillé plus qu'autre chose...)

L'ensemble , c'est avec (donc ) et fixées.
Si tu considère une rotation qui envoie sur (premier vecteur de la base canonique) et que tu pose alors : première coordonnée de . Donc où

et bien sûr, la mesure de est la même que celle de .
Et ce , ben c'est exactement un ensemble de la forme de ceux dont on a majoré la mesure au II.a).1.

[goupil59]

Ok, merci ! C'est plus clair comme cela.
Disons que j'essayais de comprendre le truc par moi même car j'avais vraiment l'impression de passer à côté d'un truc tout con (d'où ia réponse un peu tardive...)