Mesure sur N compatible avec l'injection

[MClerc]

Bonjour,

En ce moment, j'étudie les mesures sur N du type « densité » (classique, logarithmique, Schnirelmann, etc.) qui ont l'avantage d'être plus fines que celle de Lebesgue (nulle pour tout ensemble discret).

Avec une telle mesure mu, on peut avoir, par exemple, conformément à l'intuition mu(N)=1, mu(2N)=1/2, où 2N est l'ensemble des nombres pairs.

Néanmoins, ce qui n'est pas conforme à l'intuition est qu'il n'y a pas compatibilité avec l'injection. Comme sur R, on peut encore parfaitement avoir une injection de A dans B et cependant mu(A)>mu(B). Exemple : A=N, B=2N et l'injection n->2n.

D'où la question : existe-t-il (ou est-il possible de définir) une mesure de densité sur N pas trop triviale compatible avec l'injection ?
J'ai un sérieux doute (à cause de l'exemple ci-dessus), mais ma recherche est sûrement loin d'être exhaustive.

Merci d'avance pour toute réponse utile.

[Ben314]

Salut,
Avant tout autre chose, juste une question, c'est quoi que tu appelle "la mesure de Lebesgue sur N" et c'est quoi que tu appelle "un ensemble discret" de N (dans ton "nulle pour tout ensembles discrets") ?

Idem (voire encore plus important) : qu'entend tu par "mesure de densité" dans le cas des entiers naturels, par exemple un truc dénombrement additif comme on le demande en général en théorie de la mesure ?

[MClerc]

Quand j'écris « mesure de Lebesgue sur N », c'est un raccourci pour « mesure de Lebesgue sur R, appliquée aux sous-ensembles de N », et qui donne alors toujours zéro.
Un ensemble discret est fini ou dénombrable.
Il y a plusieurs mesures de densité sur N. Un point de départ succinct pour les étudier est l'article de Wikipédia : https://fr.wikipedia.org/wiki/Densit%C3%A9_asymptotique
Voir aussi, pour démarrer, l'article dans Pour la Science n° 421 (novembre 2012).

Dans ma question la sigma-additivité n'est pas requise, l'additivité finie suffirait.

Après, il y a pas mal de travaux, comme le papier de Deza et Erdös : Extension de quelques théorèmes sur les densités de séries d'éléments de N à des séries de sous-ensembles finis de N, (Discrete mathematics, 1975), mais qui ne répondent pas à la question.
Comme je l'ai dis, je pense que la réponse est négative, mais c'est à prouver.

[Ben314]

D'où la question : existe-t-il (ou est-il possible de définir) une mesure de densité sur N pas trop triviale compatible avec l'injection ?

Si par "compatible avec l'injection", tu entend que lorsque A s'injecte dans B, on doit avoir mu(A)<=mu(B), c'est évidement totalement impossible : Si tu prend une partie infinie B de N, alors (quasi par définition de ce que signifie "infinie"), il va y avoir une injection de N dans cette partie et ta condition impliquerais que 1=mu(N)<=mu(B). Donc toute partie infinie B devrait avoir une mesure égale à 1 en particulier l'ensemble des entier pairs et celui des entiers impairs et c'est en contradiction avec l'additivité de ta mesure.

Et au cas où ça te rassure, la mesure de lebesgue sur R ne vérifie elle non plus pas du tout cette propriété là : on peut parfaitement injecter le segment [0;100] dans le segment [0;1] : il suffit d'utiliser la fonction (bijective de R dans R) x->x/1000 qui envoie [0;100] sur [0;0.1]

Sinon, concernant le coté "intuitif" (ou non intuitif) du bidule, y'a un truc qu'il faut bien comprendre dés le départ, c'est que tout ce qui est infini, c'est évidement et foncièrement non concret donc qu'il n'y a jamais rien d'intuitif en ce qui concerne l'infini (je vois pas comment on pourrait avoir d'intuition en ce qui concerne un truc qui n'a aucune forme d'existence dans le monde réel)

[MClerc]

Les contre-exemples sur R sont bien connus, oui.

Dire qu'il n'y a « jamais rien d'intuitif en ce qui concerne l'infini » est un peu exagéré. Dans ce cas précis, comme déjà signalé, il existe des mesures assez conformes à l'intuition, par exemple la densité naturelle, la bien -nommée, pour lesquelles on a entre autres mu(nombres_pairs)=mu(nombres_impairs)=1/2.

Mais, d'accord, l'injection est un problème. Néanmoins, même pour cette propriété, j'ai trouvé qu'il est possible de nuancer, en « trichant » un peu. Sans entrer dans les détails techniques, une méthode possible consiste en ceci :
1) en accord avec la loi d'Estoup (souvent indûment appelée loi de Zipf), on définit une mesure sur N en affectant à chaque entier un poids décroissant (comme pour la densité logarithmique), de façon que leur somme infinie fasse 1 et que chaque poids soit supérieur à la somme de tous les suivants
2) on se restreint aux injections de A dans B pour lesquelles min(A)>min(B).

C'est un peu brutal, mais il y a probablement moyen de raffiner. D'autant que ma question, concerne juste un point annexe d'une étude plus générale, et quelque chose de ce genre pourrait suffire.

Quoiqu'il en soit, merci de ces réponses rapides

[Ben314]

Dire qu'il n'y a « jamais rien d'intuitif en ce qui concerne l'infini » est un peu exagéré. Dans ce cas précis, comme déjà signalé, il existe des mesures assez conformes à l'intuition, par exemple la densité naturelle, la bien -nommée, pour lesquelles on a entre autres mu(nombres_pairs)=mu(nombres_impairs)=1/2.

Oui, mais (bis et répéta) il faut bien comprendre que ces trucs là, ben il faut les démontrer et surement pas dire "c'est évident".
En particulier du fait, que si on te demande "intuitivement parlant" quelle est la densité des entiers dont le premier chiffre (non nul) en base 10 est un 1, ben y'a de grande chance que tu te goure. Et perso., cette constatation concernant la mesure des entiers commençant par un 1 versus ceux commençant par un 9, ben ça fait que je dirais surement pas que la "densité naturelle" est intuitive.
Pas plus que les autres qui vérifient effectivement certaines propriétés "intuitives", mais qui vérifient aussi des truc "on ne peut plus louche".

Mais, d'accord, l'injection est un problème. Néanmoins, même pour cette propriété, j'ai trouvé qu'il est possible de nuancer, en « trichant » un peu. Sans entrer dans les détails techniques, une méthode possible consiste en ceci :
1) en accord avec la loi d'Estoup (souvent indûment appelée loi de Zipf), on définit une mesure sur N en affectant à chaque entier un poids décroissant (comme pour la densité logarithmique), de façon que leur somme infinie fasse 1 et que chaque poids soit supérieur à la somme de tous les suivants
2) on se restreint aux injections de A dans B pour lesquelles min(A)>min(B).

Certes, en bidouillant, tu va arriver à ce qu'un truc qui est intuitif pour toi (*) devienne vrai pour la mesure que tu fabrique, mais par exemple, le truc qui te semblait si intuitif ci dessus à savoir que mu(Pairs)=mu(Impair), ben il va plus être vrai avec cette nouvelle mesure.
Et rien que le fait d'avoir comme propriété que la proba de tirer un entier fixé d'avance est égale à autre chose que 0 (et que ça dépende de l'entier en question), ça me semble aller à l'encontre complet de ce qu'on aimerais avoir intuitivement parlant, non ?

(*) Perso. vu la façon dont on apprenait les maths. à mon époque où on voyait dés le collège la notion d'injection dans les cas infini, où on te disait par exemple en cinquième qu'une homothétie, quelque soit son rapport, c'est une bijection, c'est à dire une injection et une surjection, ça fait que je garde pas le souvenir d'avoir jamais trouvé "intuitif" que l'image d'un truc par une injection doivent être plus petit que celui de départ : dans le cas de l'homothétie, le coté plus gros/plus petit du résultat, il dépend du rapport de l'homothétie alors que le coté injectif/surjectif, il dépend de rien du tout, il est toujours vrai.

[pascal16]

sauf erreur de ma part sur l’homothétie "..quelque soit son rapport..." : ".. de rapport non nul..".
Les vecteurs en 4ieme avec l'espace vectoriel formel, ct pas mal aussi.

[Ben314]

sauf erreur de ma part sur l’homothétie "..quelque soit son rapport..." : ".. de rapport non nul..".
Les vecteurs en 4ieme avec l'espace vectoriel formel, ct pas mal aussi.

J'ai pas compris....