"merci d'avance"

[arno]

voila, j'ai un souci avec mon cours... en effet certaines propriétés sont admises et le prof ne veut pas les démontrer... j'aurais donc besoin d'aide pour comprendre ces propriétés...

• C( lim inf An) = lim sup C An ou C désigne le complémentaire
• lim inf An C lim sup An ou C désigne l'inclusion
• lim sup (An U Bn) = lim sup An U lim sup Bn avec Bn=U Ap avec p>=n
• lim inf (An UBn) C lim sup An U lim inf Bn

ou (An) n>=0 est une suite de sous ensembles de X et Bn =sup Ap (avec p>=n) = U Ap (avec p>=n) Bn est monotone décroissante

[babulle]

peux-tu préciser ce que sont An, et Bn ?

[El_Gato]

Salut,

Il suffit de voir ce que signifient "ensemblistement" les lim sup ou inf d'ensembles, et d'utiliser les lois de Morgan.
On a :
. Donc si x appartient à un tel ensemble, cela signifie qu'il existe un n tel que x appartienne à l'intersection .

Ainsi, la lim inf des est simplement l'ensemble des x qui appartiennent à tous les à partir d'un certain rang.

Par un raisonnement similaire, la lim sup des est simplement l'ensemble des x qui appartiennent à une infinité de .

De ceci on voit tout de suite que lim inf est inclus dans lim sup.

Ensuite, pour les complémentaires, utilises la loi de Morgan: