Maximum d'une fonction??

[qaterio]

Bonjour,
Je suis sur une question, et je me demande si on peut le faire en un temps polynomiale, parce que voilà ...
(c'est r la variable) et faut trouver le maximum.
Je suis pas très chaud pour dériver 50fois la fonction, y'a pas un autre moyen de trouver le maximum ? ou alors on étudie le signe de r^2, puis du reste. C'est une fonction de la forme ??

[qaterio]

Je connais ses variations mais faut le montrer, la fonction est croissante décroissante croissante décroissante.

[qaterio]

Ce sont vraiment des sans-cœur de nous demander de calculer le maximum d'une fonction comme ça dans un DM...

[Lostounet]

Bonjour,
Je suis sur une question, et je me demande si on peut le faire en un temps polynomiale, parce que voilà ...
(c'est r la variable) et faut trouver le maximum.
Je suis pas très chaud pour dériver 50fois la fonction, y'a pas un autre moyen de trouver le maximum ? ou alors on étudie le signe de r^2, puis du reste. C'est une fonction de la forme ??

Salut,
C'est quoi ce a ? Quel est son signe?

Sinon la dérivée est du même signe que:
(r-6a)(-2ar^2 + (21r +12a^2)r + 90 a )

Donc elle devrait a priori changer de signe au max trois fois.

[qaterio]

Ah oui, a c'est le rayon de Bohr, il est positif et vaut environ 0.529*10^-10m.

[qaterio]

Et r est >0.

[Lostounet]

Bah on n'a pas besoin de s'encombrer de la constante inutile 8/19683 a^5 vu qu'elle n'a aucune incidence sur les variations...

Ensuite ce n'est que le produit d'un polynôme par une exponentielle.
Dans la dérivée on peut ne pas se préoccuper de tous les termes à signe constant qui apparaissent.

[qaterio]

Du coup, les constantes qu'on s'en fou, on les nomme A, un truc comme ça ?

[qaterio]

Par contre, comment t'as fais pour mettre la dérivée sous la forme que t'as mis dans la première réponse ?
T'as utilisé (U^n)'=n.u'(U)^(n-1) ?

[qaterio]

à l'oeil, le maximum devra environ être en r=12a (j'ai tracé sur géogebra)

[qaterio]

je t'envoies ce que j'ai trouvé comme dérivée, y'a des chances que je me sois trompé . mais on sait jamais:
soit A=8/19683*a^5:
je trouve

[qaterio]

Mais j'me suis trompé dans le calcul de la dérivé, je trouve croissant décroissant.

[Lostounet]

A les mêmes variations que la fonction:


(Il suffit juste de regrouper le polynôme en r et sortir a^2).

Pose:
U(r)=(36 a^2 r^4 - 12 a r^5 + r^6)
V(r)= exp(-2ar/3)
U'(r)= 144a^2r^3 - 60ar^4 +6r^5
V'(r)=(-2a/3)*V(r)

Donc la dérivé est (u'v-v'u)/v^2
Donc du même signe que u'v-v'u = u'v- (-2a/3)v*u
= v(u'+2a/3u)

v est positive on la vire, et on étudie le signe de:

U'+2a/3U
= 144a^2r^3 - 60ar^4 +6r^5 + 2a/3 (36 a^2 r^4 - 12 a r^5 + r^6))

Prends 2/3 r^3 en facteur on se ramène au signe de

(6 a - r) (6 a^2 r - a r^2 + 36 a - 9 r)

Et là tu as juste à étudier du second degré en particularisant a.


Ps: j'ai un peu bu hier donc vérifie le détail calcul... :p

[qaterio]

Oh merci, je fais le tableau de signe et je te donne des nouvelles si je trouve bien la variation que je veux!

[qaterio]

Tinp', j'ai envie de crever, faudrait que je trouve deux racines: une entre 0 et 6a et une autre entre 6a et +oo et ce serait parfait (si r1 environ 3a et r2 environ 12a), mais je trouve des racines négatives.................

[qaterio]

Et faudrait qu'il y ai pas un nombre négatif devant le r^2 car sinon on trouverait pas les 4 variations attendues...

[qaterio]

A les mêmes variations que la fonction:

C'est pas plutôt (36a.r^4-12r^5+r^6 )?? j'sais plus trop.

[Lostounet]

Bon..
Ce serait pas (6 - (r/a)^2) plutôt que (6-r/a)^2 ....?

Vérifie la fonction de départ pour pas qu'on reprenne des calculs pour rien...

[qaterio]

Non... si t'arrives à trouver son expression sur internet, tu verras que c'est ça : probabilité de densité radiale de l'orbitale atomique 3p.

[qaterio]

http://theo.ism.u-bordeaux.fr/~castet/doc2/ch04.pdf page 42 t'as son allure (c'est la 3p)