Maximum

[mehdi-128]

]Salut,

Soit E l'espace vectoriel R^n, soit <x,y> le produit scalaire canonique.



Justifier l'existence du réel :

On a donc :

Comment montrer que l'ensemble est un compact ?
Comment montrer la continuité de <x,y> ?

Merci.

[zygomatique]

salut

et tu ne reconnais pas ?

[mehdi-128]

La sphère unité mais je me demande comment montrer que la q-sphère unité est fermée et bornée...

[zygomatique]

on est en dimension finie = n, la norme est continue et 1 est majoré par 1 donc borné ...

[mehdi-128]

on est en dimension finie = n, la norme est continue et 1 est majoré par 1 donc borné ...

En dimension finie, toute norme est continue ?

Bah si j'appelle Np la norme p on a : est majoré par 1 mais que sait on de z ?

[samoufar]

Bonsoir,

En dimension finie, toute norme est continue ?

Mieux, en dimension quelconque, toute norme est 1-lipschitzienne (c'est la "deuxième" inégalité triangulaire si je ne me trompe pas).

Bah si j'appelle Np la norme p on a : Np est majoré par 1 mais que sait on de z ?

Que dire de l'image réciproque de {1} par l'application continue Np ?

[mehdi-128]

* Ok pour lipschitzien ! Pour la continuité dire que le produit scalaire est une forme linéaire dans un espace de dimension finie est suffisant ?

* donc :

L'image réciproque d'un fermé est un fermé donc L'ensemble est fermé...
Pour borné comment faire ?

[samoufar]

Pour la continuité dire que le produit scalaire est une forme linéaire dans un espace de dimension finie est suffisant ?

Une forme bilinéaire. Et c'est suffisant (après ça dépend si tu dois te restreindre à un certain programme qui autorise ou non l'usage de certains théorèmes).

Pour borné comment faire ?

L'ensemble est clairement borné par 1.

[zygomatique]

on est en dimension finie = n, la norme est continue et 1 est majoré par 1 donc borné ...

....

[mehdi-128]

Pour la continuité dire que le produit scalaire est une forme linéaire dans un espace de dimension finie est suffisant ?

Une forme bilinéaire. Et c'est suffisant (après ça dépend si tu dois te restreindre à un certain programme qui autorise ou non l'usage de certains théorèmes).

Pour borné comment faire ?

L'ensemble est clairement borné par 1.

Mon programme c'est celui du CAPES ou MPSI/MP

[mehdi-128]

on est en dimension finie = n, la norme est continue et 1 est majoré par 1 donc borné ...

Ok merci !

[mehdi-128]

Je lis :
L'application : lx : y --> <x,y> est une forme linéaire sur l'espace vectoriel E qui est de dimension finie donc l'application lx est continue.

Ça veut dire que toute forme linéaire est continue sur un ev de dimension finie ?
Pourquoi on teste la continuité que sur la variable y ?

[samoufar]

Mon programme c'est celui du CAPES ou MPSI/MP

Dans ce cas, à ma connaissance, il n'y a pas de résultat de cours relatif à la continuité des applications bilinéaires dans un espace de dimension finie.
Peut-être qu'il est possible, à l'image de ce qui se fait pour les applications linéaires, de montrer quelque chose comme : Si est bilinéaire, alors
est continue <=> est continue en (0,0) <=> il existe C>0 tel que pour tout (x,y), *

Alors Cauchy-Schwarz donne directement le résultat.

Ça veut dire que toute forme linéaire est continue sur un ev de dimension finie ?

Oui.

Pourquoi on teste la continuité que sur la variable y ?

Par symétrie du produit scalaire.

Toujours dans le cadre du programme, il ne me semble pas y avoir de théorème disant :
Si est bilinéaire dans un espace de dimension finie (au départ et à l'arrivée), alors
est continue <=> est continue par rapport à chacune de ses variables.

* En réalité, une telle caractérisation existe. cf. "Forme bilinéaire" sur Wikipédia.

[mehdi-128]

Merci Samoufar pour ces réponses super claires