Maximum global d'une fonction a n variables

[profstephan]

Bonjour,
J'ai le problème suivant:
Soit f une fonction a n variables réels definit dans un domaine D.
On sait que:
- f(X0) est un maximum local de f. (1)
-Si Y appartient aux bord de D alors f(Y)<f(X0) (2)
-Tous les coefiscient de la matrice Hessienne de f sont négatifs sur D. (3)

Je n'arrive pas a trouver un exemple ou (1), (2) et (3) sont vrai et f(X0) n'est pas un maximum global de f.


Merci d'avance.

[GaBuZoMeu]

Il suffit de s'arranger pour avoir un autre maximum local plus élevé à l'intérieur de . Un chameau à deux bosses, quoi.
Et pour avoir les coefficients de la matrice hessienne partout négatifs, me semble un bon départ. On a deux bosses, il faut juste bricoler un peu pour qu'une soit plus haute que l'autre.

[pascal16]

je suis pas un pro du problème, mais il me semble que les contres-exemple sont plutôt des problèmes de différentiabilité dans des directions autres que celles des axes, avec des |x-y|x² par exemple

[GaBuZoMeu]

Ben non, il n'y a aucun problème à avoir un contre-exemple parfaitement différentiable, et même polynomial.
Le truc, c'est qu'en plusieurs variables on peut avoir toutes les dérivées secondes (les coefficients de la matrice hessienne) négatives sans pour autant que la matrice hessienne soit définie négative. Ça ne risque bien sûr pas d'arriver en une seule variable !

[fatal_error]

En fait en prenant la hessienne

a,b,c positifs, je montre que quand deux max locaux existent ils valent pareil.(prendre b-a^2<0)

Quand j'introduis -y^2-c pour la dérivée double en y à la place de -1, pour trouver deux max de valeur différente, on a deux dérivées partielles cubiques, et ajuster a,b,c pour que on ait au moins deux pts critiques tq le det de la hessienne soit positif en ces points c'est pas coton coton

[GaBuZoMeu]

Bah, il n'y a rien de sorcier. J'avais déjà donné l'exemple d'un polynôme faisant le chameau à deux bosses et dont la matrice hessienne a ses coefficients toujours négatifs. Le seul problème était que les deux bosses avaient la même hauteur. Ce problème est facilement réglé en perturbant le polynôme de départ sans trop l'abimer :

fait parfaitement l'affaire. Une image :



J'ai tronqué ce qui descend en dessous de -1.

[fatal_error]

peux-tu détailler (dans les grandes lignes) comment tu obtiens 1/10, tu testes plein de valeur et tu regardes à l'oeil? Tu as un truc plus analytique qui te dit: 1/10 ca marche?

[GaBuZoMeu]

Détaillons dans les grandes lignes.

L'idée est de perturber très légèrement pour rendre inégales les hauteurs des deux bosses sans toucher au fait que les coefficients de la matrice hessienne sont tous toujours négatifs et qu'il y a trois points critiques : deux maxima locaux et un col.
L'ajout de avec petit en valeur absolue fait le job.
Les points critiques sont les solutions de et , et le seul coefficient modifié de la matrice hessienne est celui de 1e ligne et 1e colonne qui devient .
Il restait à choisir petit en valeur absolue, mais suffisamment grand pour que la différence de hauteur des bosses se voie sur le dessin.

[fatal_error]

top, merci