[ECO gestion] maximisation profit ...

[freshboz]

Bonsoir, je suis étudiant en Licence Eco gestion, j’ai un mini mémoire à faire, cependant je suis actuellement bloqué. Je vous demande donc votre aide. En aucun cas je vous demande de me faire mon mémoire, seulement de m’aiguiller, de vérifier mes réponses et de m’apporter les outils nécessaire à la compréhension total de ce sujet. Des graphiques sont en lien.
Voici l’énoncé :


Un duopole spatial avec coûts de transport linéaires.

Deux vendeurs d’un bien de consommation courante se partagent une aire de marché linéaire (ex. une rue). Les consommateurs sont répartis suivant une certaine densité sur cette aire de marché, et chacun d’eux achète une unité du produit, quel que soit le prix affiché. Les deux vendeurs ont chacun un point de vente localisé en un lieu précis et n’ont pas la possibilité d’en changer. Chaque consommateur doit se déplacer vers l’un ou l’autres des deux points de ventes et il achète exclusivement auprès du vendeur lui permettant de payer le moins cher (frais de déplacement inclus). Le coût du déplacement est supposé proportionnel à la distance parcourue, les vendeurs peuvent afficher les prix qu’ils veulent mais se font concurrence.

1. Les vendeurs étant supposés avoir décidé d’un prix, déterminer les demandes auxquelles ils feront face. Représenter graphiquement les aires de marché de chaque vendeur et déterminer le(s) consommateurs(s) qui est (sont) indifférent(s) entre les deux vendeurs.

2. Que se passe-t-il lorsque le coût unitaire de transport est très faible ou au contraire exorbitant ? Interpréter économiquement.

3. On suppose que les consommateurs sont uniformément répartis sur l’aire de marché et que les vendeurs fixent leur prix afin de maximiser leur profit. Ils prennent leurs décisions de manière non coopérative, c'est-à-dire sans se concerter. Ecrire le profit de chaque vendeur. Sous quelle(s) condition(s) ce profit est-il maximal ?

4. Existe-t-il un équilibre en prix lorsque chaque vendeur fixe son prix afin de maximiser son profit et lorsqu’il anticipe que son concurrent va faire de même ?

5. Existe-t-il des points de vente tels que les deux vendeurs affichent le même prix ? Ce prix dépend-il du coût unitaire de transport ?



Réponses :

1. La droite 1 a pour équation : y = |-ct(x) + x1 | + P1
La droite 2 a pour équation : y = |-ct(x) + x2 | + P2

|-ct(x)+x1 | signifie la valeur absolue de - coût de transport + la distance de x1

L’abscisse de la droite d’indifférence de peut s’obtenir par :
D1 : x1 + |(x2 – x1)/ 2|
Ou D2 : 1-[x1 + |(x2 – x1)/ 2|]

Graphiquement on obtient :
http://img406.imageshack.us/img406/3633/maths11dr.jpg

L’inclinaison du CT varie selon l’importance ou non des coûts de transport, plus il est important plus l’inclinaison sera forte.
La droite bleue est la droite d’indifférence des consommateurs.

2. Les prix des biens sont supposés identiques. Donc seul les coûts de transports influence l’achat vers l’un des deux vendeurs.
Graphiquement:
http://img399.imageshack.us/img399/2350/maths23ot.jpg

[Droite bleue] Si le coût unitaire de transport est très faible alors il y a une indifférence des clients pour le choix du vendeur, seul le prix du bien va influencer leur choix, il y a donc une forte élasticité au prix du bien.
Ex. Dans un supermarché, seul le prix influence l’achat (pas de distance entre les biens)

[droite verte]Si le coût unitaire de transport est très élevé, il n’y a plus d’indifférence, seul la distance importe. Forte élasticité au prix du transport.
Ex. passer une commande sur internet, l’importance ou non des frais de port influt sur l’achat


3. profit : recette total- coût total
Ici il n’y a pas de coût à la production donc le profit se calcule seulement par le produit de la quantité vendue (demande) et du prix.
Graphiquement, on obtient :
http://img363.imageshack.us/img363/8227/maths35xz.jpg

Le profit réalisé par le vendeur 1 est hachuré en vert, celui du vendeur 2 en rose.


Je suis bloqué ici. Je n’arrive pas à calculer le profit, n’ayant pas trouvé la demande exacte étant donné les variations des prix, du coût de transport.
Il me manque l’équation exacte de la demande, ainsi que celle du profit afin de la maximiser.

Pouvez-vous m’aider à avancer dans ce mémoire ?
Je vous remercie d’avance.

[bdupont]

Pour la question 3:
Il faut faire intervenir le point X sur la route où le client est indifférent

X est l'abscisse de l'intersection des droites de demande entre x1 et x2

X = (P2 - P1)/2c + (x1+x2)/2
avec c le coût unitaire du transport
Supposons que x1, P1 et x2 soient fixés, le second offreur veut déterminer son prix.
Profit2 = P2(1-X) s'exprime après substitution comme un polynôme du second degré en P2
Il te reste à annuler sa dérivée pour obtenir le prix optimum fonction de P1, c, x1 et x2.

Tu passes ensuite à l'étape suivante qui consiste à simuler la réaction du premier offreur qui va ajuster son prix en conséquence.

A mon avis, tout cela devrait converger vers un prix d'équilibre. Il faut malgré tout le démontrer (au moyen d'une suite par exemple).

[bdupont]

J'ajoute que ce problème est celui posé par Hotelling en 1929 (Economic Journal). Lui s'intéressait plutôt au choix des localisations x1 et x2 et par suite à la question de la différenciation des produits.
Tu peux creuser la question à partir de : http://www.econ.au.dk/fag/2157/e04/Hotelling.pdf

[freshboz]

merci beaucoup, je vais étudier tout cela. je vous tiendrais au courant de mon avancement.