I maximal => A/I corps

[Cryptocatron-11]

Bonjour,

Je cherchais à démontrer cette assertion

" Un idéal I d'un anneau commutatif A est maximal si, et seulement si, l'anneau quotient A/ I est un corps "

Et je suis tombé sur ça :

Supposons que I soit maximal.

Montrons que tout élément x non nul de A / I est inversible. Un tel élément x du quotient est la classe d'un élément a de A qui n'appartient pas à I. Comme A est commutatif, I + a.A est un idéal. Comme cet idéal contient strictement I, il est égal à A. Cela signifie qu'il existe un élément i de I et un élément b de A tels que i + a.b = 1. Cette égalité montre que la classe x de a est inversible, d'inverse la classe de b. En conséquence, A / I est bien un corps.

J'ai souligné en rouge le truc que je ne comprend pas. La présence du i me pose problème. Est ce qu'on peut affirmer A.B=1-I avec I qui est une classe NULLE ? Avec A la classe de a et B la classe b et I la classe de i. Puis aussi 1 est la classe du neutre (donc le neutre ?). Du coup on a A.B=1 et c'est donc inversible pour tout élément non nul ...

[barbu23]

Bonjour : :happy3:
Sauf erreur :
implique que implique que car parce que donc et sont inversibles dans .
Cordialement. :happy3:

[leon1789]

Moi, ce que je ne comprends pas, c'est pourquoi on doit faire toute cette démo pour montrer que "tout élément x non nul de A / I est inversible" implique "A / I est bien un corps" car c'est simplement l'application de la définition d'un corps !

[Cryptocatron-11]

Bonjour : :happy3:
parce que

Et pourquoi ?

[leon1789]

Et pourquoi ?

car i et 0 ont même classe modulo I
(i-0 appartient à I)

[barbu23]

Et pourquoi ?

On trouve ça clairement dans n'importe quel cours de théorie des anneaux.
Par définition :

Si tu remplaces , tu obtiens :

[Cryptocatron-11]

car i et 0 ont même classe modulo I
(i-0 appartient à I)

Ouais j'avais remarqué mais je comprenais pas trop pourquoi le fait que la classe de 0 soit forcément une classe considérée comme nulle dans l'anneau quotient

pourquoi cl(0) est nulle dans A/I ... C'est ça mon pb

[gdlrdc]

Pense à Z/nZ
Si k appartient à nZ alors cl(k)=0.
Ici c'est la même chose

[barbu23]

Ouais j'avais remarqué mais je comprenais pas trop pourquoi le fait que la classe de 0 soit forcément une classe considérée comme nulle dans l'anneau quotient

pourquoi cl(0) est nulle dans A/I ... C'est ça mon pb

Parce que la loi est compatible avec la relation d'équivalence :
C'est à dire :
et alors
Tout découle de ce résultat, tu dois avoir ça dans le cours, comment on construit une structure d'anneau unitaire dans le quotient. :happy3:
Cordialement. :happy3:

[gdlrdc]

Ouais j'avais remarqué mais je comprenais pas trop pourquoi le fait que la classe de 0 soit forcément une classe considérée comme nulle dans l'anneau quotient

pourquoi cl(0) est nulle dans A/I ... C'est ça mon pb

Dans la définition d'un ideal I , I est sous groupe de (A,+) donc 0 appartient à I

[Cryptocatron-11]

Et aussi, je n'arrive pas à démontrer que R[X] est principal