Matrices, vecteur propre

par **DTB** » 12 Oct 2008, 13:11

Bonjour, j'aurai besoin d'un peu d'aide pour un exercice
M dans Mn(R) admettant n valeurs propres distinctes
A dans Mn(R) tel que MA=AM

Montrer qu'il existe l1,l2,...,ln tels que A=Somme(k=0 à n-1) lk M^k

merci

par **DTB** » 12 Oct 2008, 16:01

quelqu'un a une idée?

par **Maxmau** » 12 Oct 2008, 17:37

DTB a écrit:quelqu'un a une idée?

Bj
Quelques éléments tenant compte des hyp:
M est diagonalisable
Peut-on se ramener au cas où M est diagonale ?
Les vecteurs propres de A sont les mêmes que ceux de M

Et ceci :

Etant donné n+1 complexes distincts 2 à 2 : a0 ,a1 , a2 , , an et n+1 autres complexes ; b0 ,b1 , ,bn
Il existe un unique polynôme P de de degré n tq : P(ai ) = bi

par **DTB** » 12 Oct 2008, 18:39

polynome de Lagrange...mais je ne vois pas trop le rapport...

par **Maxmau** » 12 Oct 2008, 19:44

DTB a écrit:polynome de Lagrange...mais je ne vois pas trop le rapport...

Interpolation polynomiale

par **DTB** » 12 Oct 2008, 20:52

et comment l'utilise-t-on ici?

par **leon1789** » 12 Oct 2008, 21:15

DTB a écrit:et comment l'utilise-t-on ici?

diagonalise d'abord le problème, et tu verras.

par **DTB** » 12 Oct 2008, 21:27

diagonalisé le probleme c'est diagonaliser les matrices...?
Etant donné que l'on a aucune information sur M et A je ne vois pas comment faire...(avec les matrices de passages?)

par **leon1789** » 12 Oct 2008, 21:30

DTB a écrit:diagonalisé le probleme c'est diagonaliser les matrices...?
Etant donné que l'on a aucune information sur M et A je ne vois pas comment faire...(avec les matrices de passages?)

oui, c'est diagonaliser les matrices.
Tu n'as pas d'hypothèse sur M ? ...

par **DTB** » 12 Oct 2008, 21:51

On sait que M a n valeurs propres distinctes donc les espaces propres sont de dimension 1...cela donne-t-il des informations sur sa diagonalisation?

par **Maxmau** » 13 Oct 2008, 07:18

DTB a écrit:On sait que M a n valeurs propres distinctes donc les espaces propres sont de dimension 1...cela donne-t-il des informations sur sa diagonalisation?

Bj
M étant diagonalisable, sécrit : M =P^(-1)DP où D est diagonale avec des éléments diagonaux (les valeurs propres) distincts 2 à 2
MA = AM sécrit (PAP^(-1))D = D(PAP^(-1))
A commute avec M se traduit par : PAP^(-1) commute avec D

Quelles sont les matrices qui commutent avec D ?

par **DTB** » 13 Oct 2008, 18:34

...svp...?

par **DTB** » 13 Oct 2008, 18:50

je ne trouve pas les matrices commutant avec D...

par **leon1789** » 13 Oct 2008, 19:05

Tu as démontré que M se diagonalise dans une base B (formée de vecteur propre associés à des valeurs propres toutes distinctes) ?
Montre que A se diagonalise aussi dans la base B.

par **DTB** » 13 Oct 2008, 19:10

On n'a pas deja que M se diagonalise dans une base formée des vecteurs propres...?

Puisque tous les vecteurs propres de M sont les vecteurs propres de A on obtient que A se diagonalise dans la même base.

par **leon1789** » 13 Oct 2008, 19:19

DTB a écrit:Puisque tous les vecteurs propres de M sont les vecteurs propres de A on obtient que A se diagonalise dans la même base.

Cela, tu l'as bien prouvé ?

Donc le problème revient à considérer des matrices diagonales, non ?

par **DTB** » 13 Oct 2008, 19:28

oui j'ai démontré que les valeurs propres de l'un étaient celles de l'autre
On en revient en effet à un probleme diagonale...

par **leon1789** » 13 Oct 2008, 19:30

ok, alors comment ce traduit le problème lorsque M et A sont diagonales ?
(..ça se fait composante par composante.)

par **DTB** » 13 Oct 2008, 19:44

on cherche les Li tels que
mi=Li.ai^i ou mi et ai sont les termes diagonaux?

par **leon1789** » 13 Oct 2008, 19:48

DTB a écrit:on cherche les Li tels que
mi=Li.ai^i ou mi et ai sont les termes diagonaux?

c'est plutôt

!

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