Matrices et unicité d'une solution

[egan]

Salut tout le monde,

Je me donne une matrice à n lignes et m colonnes A. Je note A' sa transposée. Je me donne aussi un vecteur b de Rn. Je m'intéresse à l'équation:

A'Ax = A'b

à résoudre dans Rm.

Je dois montrer qu'il existe une unique solution à ce problème si et seulement si A est de rang plein, ce qui équivaut aussi à dire que A est injective.

Quelqu'un à une idée de comment faire ça ?

@+ Boris.

[wserdx]

regarde ici
rang

[egan]

Je ne vois pas telment comment m'en sortir avec ton lien. Merci par ailleurs. ;)

Si je suppose que A est de rang plein, dans ce cas le rang de A est max(n;m) mais je ne peux pas calculer le rang de A'A car je n'ai pas d'hypothèse de positivité sur A.

Je ne vois pas comment m'y prendre non plus pour la réciproque. C'est bien faible comme information sur A de savoir qu'il n'y a qu'une unique solution à ce problème.

[wserdx]

Si la matrice A est rectangle, elle a peu de chance d'être symétrique, définie positive...
En revanche A'A oui.

[egan]

Je ne vois pas trop ce que tu veux faire. AA' n'a pas de raison d'être définie à priori.

[wserdx]

Il te faut étudier la matrice transpose(A)*A. Il te faut montrer que c'est une matrice carrée, de même rang que A.

(je note transpose(A) la transposée de A pour qu'il n'y ait pas d’ambiguïté de notation)

[egan]

Oui ça c'est bon.
C'est la suite qui me pose soucis.

[wserdx]

Bon si c'est bon, alors qu'est-ce qui ne va pas ? c'est quoi "la suite" pour toi?

[othmanB]

on peut faire la demarche suivante :) on va poser f(x)=Ax et f'(x)=A'x
pour A injective 'il existe une unique solution du problème ça est simple
il suffit de prendre deux solution x,y et on montre que x=y (f et f' sont injective)
mtn la deusieme on a f est f' injective ==> f rond f' injective n'est ce pa !!
alors AA' ets une matrice carré inverssible
on peut ecrire que x= (AA')^(-1) *A'b est c'est une unique solution ;)

[egan]

Bon si c'est bon, alors qu'est-ce qui ne va pas ? c'est quoi "la suite" pour toi?

Supposons que A soit de rang plein.
On sait donc que rg(A) = max(m;n).
Donc que rg(A'A) = rg(A) = max(m;n).
A'A est une matrice carré de taille m. Or rg(A'A) = max(m;n) >= m mais rg(A'A) <= m donc rg(A'A) = m donc A'A est inversible et le problème a alors une unique solution.

Ce sens là, ça va.

Par contre, l'autre je ne vois pas.

Supposons que le problème A'Ax = A'b n'ait qu'une unique solution.
Comment montrer que A est de rang plein ?

[egan]

D'ailleurs, ce que j'ai écrit n'est pas au top sur un point. Il aurait plutôt fallu écrire:

rg(A'A) >= rg(A) = max(m;n)

Ici, à première vue, rg(A'A) n'a aucune raison d'être égal à rg(A).
En fin de preuve, on sait juste que rg(A'A) est égal à m mais il n'a a priori aucune raison d'être égal à rg(A) = max(m;n) comme tu le disais, non ?

[wserdx]

Tu te compliques un peu la vie. Tu dois savoir par ailleurs qu'un système linéaire de n équations à n inconnues Ax=b admet une unique solution si et seulement si il est de rang plein. (as-tu un cours là-dessus?)

[egan]

Ce truc là est donc vrai ?

Soit A une matrice carré et b un vecteur.
Si Ax = b n'admet qu'une unique solution, alors A est inversible.

[wserdx]

ben ouais.

[egan]

Comment on montre le sens non trivial ?

Est-ce que tu es d'accord avec ça ?

Supposons que A soit de rang plein.
On sait donc que rg(A) = max(m;n).
Donc que rg(A'A) >= rg(A) = max(m;n).
A'A est une matrice carré de taille m. Or rg(A'A) = max(m;n) >= m mais rg(A'A) <= m donc rg(A'A) = m donc A'A est inversible et le problème a alors une unique solution.

J'ai toujours un problème avec la réciproque.

Supposons que A'A = A'b ait une unique solution.
On en déduit alors que A'A est inversible.
Comment on remonte à A est de rang plein ?

[wserdx]

Tu te compliques encore la vie. Si tu regardes le lien que j'ai donné plus haut, il permet d'établir que le rang de A'A est égal au rang de A.
De plus ton raisonnement est faux, le rang d'une matrice est inférieur au nombre de lignes et de colonnes :

[egan]

J'avoue ne pas avoir tout compris dans le post que tu m'as indiqué.

Le résultat rg(A'A) = rg(A) est vrai même si A est une matrice rectangulaire ? Parce que pour moi, A est rectangulaire.

Si ce truc là est vrai, il me reste à montrer que A'A est inversible si et seulement si A est de rang plein.

Supposons que A soit de rang plein. On a alors rg(A) = min(m;n). On sait que plus que A'A est carrée de taille m donc rg(A'A) <= rg(A) = min(m;n).
Mais qu'est-ce qui me prouve alors que rg(A'A) = m ?

Supposons que A'A soit inversible. Alors elle est de rang m donc rg(A'A) = rg(A) = m.
Mais encore une fois, rien ne me prouve que m = min(m;n) ?

[wserdx]

Il me semble que c'est juste la définition d'une matrice de rang plein:
Un matrice est dite de rang plein si et
Ce équivaut à ce que les vecteurs colonnes soient libres

[egan]

Donc une matrice qui a strictement plus de colonnes que de lignes ne peut pas être de rang plein ?

[wserdx]

ça dépend en effet de la définition que tu choisis.
Dans le cas m=n, la question ne se pose pas. J'ai trouvé une définition de "rang plein-ligne" et "rang plein-colonne", si on veut préciser.
Dans le cas de ton problème, rang-plein doit s'entendre comme "rang plein-colonne".
Par exemple si A est une matrice 1 X 2 (1 ligne et deux colonnes) de rang 1 alors A'A est carrée 2 X 2 de rang 1, donc non inversible.