Bonjour à tous !
j'ai un peu de mal à résoudre cette question qui me casse la tête depuis un bon petit bout de temps ! Si quelqu'un veut s'y aventurer, ce ne sera pas de refus !
La question est la suivante :
Soit A= aI + bJ un élément quelconque de E.
Montrer que pour tout entier naturel p, on a :
A^(p) = a^(p) I + 1/2 [ (2b+a)^(p) - a^(p) ] J
Des indications supplémentaires peuvent être utiles :
on désigne par E l'ensemble des matrices A de la forme:
(a+b) 0 0 0 b
b a 0 0 b
b 0 a 0 b
b 0 0 a b
b 0 0 0 (a+b)
où a et b sont deux réels quelconques
et on note I l'élément de E obtenu pour a=1 et b=0; et J celui obtenu pour a=0 et b=1.
J'ai commencé une récurrence (bon pour n=0; mais pour la suite je trouve que le début, enfin c'est un peu brouillon...)
Si quelqu'un trouve quelque chose d'interessant, ce serait très sympa...
Matrices...
13 messages
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par tize » 04 Jan 2007, 14:11
Bonjour,
les matrices aI et bJ commutent, tu peux donc utiliser un binôme de Newton... d'autre part on montre facilement que
par récurrence...
c'est peut être pas la méthode la plus rapide....
les matrices aI et bJ commutent, tu peux donc utiliser un binôme de Newton... d'autre part on montre facilement que
c'est peut être pas la méthode la plus rapide....
par DiaNee » 04 Jan 2007, 14:16
tize a écrit:Bonjour,
les matrices aI et bJ commutent, tu peux donc utiliser un binôme de Newton... d'autre part on montre facilement que
c'est peut être pas la méthode la plus rapide....
Je ne sais pas ce qu'est un binôme de Newton :triste:
j'ai commencé par récurrence mais apparement ce n'est pas la méthode la plus simple... par où dois-je commencer?
par tize » 04 Jan 2007, 14:19
Mais si tu sais ce que c'est...en TS : ^n=\sum\limits_{k=0}^{n}C_n^ka^kb^{n-k})
ici c'est pareil mais avec des matrices pour a et b...
par DiaNee » 04 Jan 2007, 14:24
tize a écrit:Mais si tu sais ce que c'est...en TS :
je n'est jamais vu cette formule... je suis en prépa hec 1ère année on résoud habituellement ces questions par récurrence, c'ets pour cela que j'ai commencé comme ça
par tize » 04 Jan 2007, 14:31
T'en fais pas je pense que la récurrence sur p marche très bien aussi...
C'est vrai pour p=0 (facile)
Supposons que c'est vrai pour un certain rang p, montrons que c'est vrai au rang p+1 :
C'est vrai pour p=0 (facile)
Supposons que c'est vrai pour un certain rang p, montrons que c'est vrai au rang p+1 :
par DiaNee » 04 Jan 2007, 14:32
oui mais je n'y arrive pas...
j'ai d'abord calculé pour p=0 et c'est bon donc je cherche
A^(p+1) = a^(p+1)I + 1/2 [(2b+a)^(p+1) -a^(p+1)] J
Donc avec l'hypothèse de récurrence j'au multiplié par A pour obtenir A^(p+1)
mais de l'autre coté de ne sais pas quoi en faire (à part avec a^(p)I ou je trouve a^(p+1)I mais l'autre partie avec J je ne trouve pas, j'ai essayé de remplacé A par aI+bJ mais je me suis plus embrouillée qu'autre chose)
j'ai d'abord calculé pour p=0 et c'est bon donc je cherche
A^(p+1) = a^(p+1)I + 1/2 [(2b+a)^(p+1) -a^(p+1)] J
Donc avec l'hypothèse de récurrence j'au multiplié par A pour obtenir A^(p+1)
mais de l'autre coté de ne sais pas quoi en faire (à part avec a^(p)I ou je trouve a^(p+1)I mais l'autre partie avec J je ne trouve pas, j'ai essayé de remplacé A par aI+bJ mais je me suis plus embrouillée qu'autre chose)
par tize » 04 Jan 2007, 14:44
oui et tu devras surement te servir du fait que 
je pense...j'ai pas fait les calculs...
par tize » 05 Jan 2007, 01:43
Sans oublier que :
\(a^pI+0.5\(\(2b+a\)^p-a^p\)J\)\\=a^{p+1}I+ba^pJ+0.5\(aI+bJ\)\(\(2b+a\)^p-a^p\)J)
^p-a^p\)\(aJ+bJ^2\))
^p-a^p\)\(aJ+2bJ\))
^p-a^p\)\(a+2b\)J)
Ensuite, il suffit de développer et réorganiser, c'est assez simple...
Ensuite, il suffit de développer et réorganiser, c'est assez simple...
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