Matrices!!!

[yayab]

Bonsoir à tous,
Je faisais un exercice type concours mais depuis quelques temps je bloque sur cette question:
Soit une matrice dans GL(n), telle que tous ses coefficients sont positifs, ainsi que ceux que sa matrice inverse.
Montrer que dans chaque ligne il existe un unique élément strictement positif.
Voila, merci pour votre aide!!

[Physimath]

Hey hey,

A mon avis tu devrais raisonner par l'absurde, en supposant qu'il y a une ligne dans ta matrice où deux éléments au moins sont non nuls. Forcément le reste des éléments est nul car positifs.
Ensuite, si tu utilises la définition de l'inverse à l'aide des mineurs de la matrice (il me semble qu'elle existe), peut-être que tu vas tomber sur le fait qu'un élément de la matrice de départ doit être négatif pour vérifier que la matrice d'arrivée n'a que des coeffs positifs, ou l'inverse.

[yayab]

Hey hey,
Merci pour ta réponse!
J'ai opté pour un raisonnement par l'absurde aussi mais dans ce que tu me proposes comme résolution, on a au moins deux elements non nuls, or il ne devrait en avoir qu'un seul!
A mon avis tu devrais raisonner par l'absurde, en supposant qu'il y a une ligne dans ta matrice où deux éléments au moins sont non nuls. Forcément le reste des éléments est nul car positifs.
Ensuite, si tu utilises la définition de l'inverse à l'aide des mineurs de la matrice (il me semble qu'elle existe), peut-être que tu vas tomber sur le fait qu'un élément de la matrice de départ doit être négatif pour vérifier que la matrice d'arrivée n'a que des coeffs positifs, ou l'inverse.

[arnaud32]

déjà sur chaque ligne et chaque colonne il y a au moins un terme non nul , sinon ta matrice n'est pas inversible.
ensuite, écrit que le produit des deux matrices doit être l'identité et regarde ce que ca implique en terme de coefficients
M*N=I

et
N*M=I

il faut remarquer que tous les termes sont positifs ou nul, et donc dans le cas ou i et j sont différents ...