Matrices?

[Lostounet]

det(R + tS) est un polynôme réel pour avoir Q une matrice réelle... Mais c'est comme si on faisait une extension pour "passer à P", et lui serait un polynôme dans C... C'est comment je comprends les choses?

[Doraki]

Non non non
det(R + tS) est un polynome à coefficients complexes pour avoir une matrice Q (ou P) complexe.

est-ce que tu râles autant quand tu dois évaluer le polynôme P(X) = 2x²+7 en x=pi ? genre "oh mais non c'est un polynome à coefficients rationnels, t'as pas le droit de l'évaluer en pi !!"

[Lostounet]

Pourquoi la matrice Q est réelle alors si son déterminant est à coefficients complexes?

Non mdr, mais là c'est la "variable" qui est réelle :/ c'est pour ça que je râle.

[jlb]

Mais alors mon polynôme il est de R dans R ou de C dans R (peut-être pas) ou de C dans C... ???

ton polynôme est à coefficient dans R, après c'est la fonction polynomiale que tu évalues pour un réel, un complexe ou un autre bazar.

tu constates que pour le complexe i ta fonction polynomiale n'est pas nulle, donc le polynôme n'est pas nul et tu peux poursuivre le raisonnement.

[Lostounet]

D'accord c'est cette subtilité qui m'échappait ! Merci

Modif: Du coup ce n'est pas ce qui était écrit?

[Doraki]

Oui bah il se trouve que lorsque t est réel on obtient une matrice réelle.
Mais lorsque dans R+tS on prend t complexe (comme i) on obtient une matrice complexe (P)

comme det(R+tS) est un polynôme à coefficients complexes, et que ce polynôme évalué en i est non nul, ce n'est pas le polynôme nul, donc il existe au plus n nombres complexes tels que det(R+tS) est nul.
Donc il existe une infinité de nombres complexes et même réels ou rationnels ou même entiers, tels que det(R+tS) est non nul puisqu'il y a une infinité de nombres complexes/réels/rationnels/entiers.

[Lostounet]

Donc cet exo s'appuie sur la non nullité du déterminant sur C par hypothèse sur P, sur le caractère polynomial du déterminant de degré n => il y a une infinité de réels, donc beaucoup qui n'annulent pas det(R + tS) => Il existe une matrice Q qu'on déduit à partir de P...

[jlb]

D'accord c'est cette subtilité qui m'échappait ! Merci

Modif: Du coup ce n'est pas ce qui était écrit?

si,si mais Doraki t'avais donné les détails juste avant, je laisse à bcp plus qualifié!!!

ce post va aussi s'autodétruire rapidement!!!! Doraki pourait rougir qu'on le flatte!! :we:
bonsoir à vous deux.