Matrices?

par **Lostounet** » 27 Mai 2014, 18:47

Bonjour,

Soit A et B deux matrices de Mn(R); On suppose qu'il existe P dans GLn (C) tel que

et on veut mq il existe Q dans GLn(R) tel que

1. Montrer que si l'on écrit P = R + iS avec R et S dans Mn(R) alors RB = AR et SB = AS (c'est fait !)

2. En déduire pour tout t de R, (R + tS)B = A(R + tS)
ça aussi c'est fait

3. Conclure) Je n'arrive pas: j'ai procédé par disjonction des cas

* A est inversible, alors B aussi l'est forcément et alors det(R + tS) forcément non nul donc je peux poser Q = (R + tS)

* A est non inversible donc B non plus, et là ça coince... Je n'y arrive pas.

Merci de votre aide

par **Doraki** » 27 Mai 2014, 20:41

A est inversible, alors B aussi l'est forcément et alors det(R + tS) forcément non nul

Où est le rapport !?!?

par **Lostounet** » 27 Mai 2014, 20:52

Umm

B = P-1 A P

det(B) = det (P-1) det(A) det(P)

Mais det(P) et det(P-1) non nuls car P inversible donc si det A non nul alors det B non nul.

Puis:

(R + tS)B = A(R + tS)

Je raisonne sur les det, det(R + tS) forcément non nul sinon contradiction..? Enfin ça coince lol ..
Je comprends rien.

par **jlb** » 27 Mai 2014, 21:42

Lostounet a écrit:Umm

B = P-1 A P

det(B) = det (P-1) det(A) det(P)

Mais det(P) et det(P-1) non nuls car P inversible donc si det A non nul alors det B non nul.

Puis:

(R + tS)B = A(R + tS)

Je raisonne sur les det, det(R + tS) forcément non nul sinon contradiction..? Enfin ça coince lol ..
Je comprends rien.

Tu raisonnes sur det(R+tS) et ???? c'est quoi en fonction de t? et tu dois aussi savoir qu'un polynôme de degré n a au plus n racines et donc tu dois pouvoir trouver un t qui convient pour avoir R+tS inversible?

par **Lostounet** » 28 Mai 2014, 21:58

Il faut que j'explicite det(R + tS) en fonction de t? Je ne vois pas trop comment car c'est une somme... Par contre je sais que det(R + tS) risque d'être un truc polynomial en t et il s'annule donc un nb fini de fois...

Pourriez-vous me mettre sur la voie?

par **Doraki** » 28 Mai 2014, 23:04

Tu relis le but du problème et ta dernière phrase jusqu'à ce que ça fasse clic

par **Lostounet** » 28 Mai 2014, 23:10

Le but est de trouver une matrice réelle Q inversible. J'ai trouvé une matrice susceptible d'être inversible, et qui est Q = (R + tS)

Pourquoi Q est-elle inversible? Il existe des t qui annulent le déterminant de Q, et d'autres t qui ne l'annulent pas. C'est tout ce qui fait clic pour l'instant.

par **jlb** » 28 Mai 2014, 23:12

Lostounet a écrit:Le but est de trouver une matrice réelle Q inversible. J'ai trouvé une matrice susceptible d'être inversible, et qui est Q = (R + tS)

Pourquoi Q est-elle inversible? Il existe des t qui annulent le déterminant de Q, et d'autres t qui ne l'annulent pas. C'est tout ce qui fait clic pour l'instant.

tu brûles!!!

par **jlb** » 28 Mai 2014, 23:15

bonsoir, du coup, ton problème est d'expliquer comment trouver un t qui va te donner une telle matrice inversible.
Comme det(...)) est polynomial en t, non nul , il a un nb fini de racines et donc tu choisis un t qui n'en est pas une, et tu as trouvé la solution de ton pb.

par **Lostounet** » 28 Mai 2014, 23:15

Euuuh :p Est-ce que je devrais abandonner cet exo?

(R + tS)B = A(R + tS)

Ressemble beaucoup à B = Q-1 A Q je trouve :p

Oui mais ... comment je fais pour expliciter le det polynomial du machin :/

par **jlb** » 28 Mai 2014, 23:18

il te reste à justifier l'existence d'un t te donnant l'inversibilité de ta matrice et ce sera bon si tu n'as pas lu le post précédent!!

ben tu dis que c'est un polynôme en t , pas besoin de l'expliciter!!!

par **Lostounet** » 28 Mai 2014, 23:23

Si j'ai lu...!

Il me faut justifier l'existence d'un t qui n'annule pas le déterminant polynomial. Vu que c'est un polynôme que je suppose non identiquement nul (pourquoi ?), de degré n, il admet au plus n racines (multiplicités comprises) d'après le th. fondamental de l'Algèbre.

Je me pose quand même la question de comment je peux rédiger ça car ça me parait trop intuitif comme raisonnement?

par **Doraki** » 28 Mai 2014, 23:23

Lostounet a écrit:Euuuh :p Est-ce que je devrais abandonner cet exo?

(R + tS)B = A(R + tS)

Ressemble beaucoup à B = Q-1 A Q je trouve :p

Oui mais ... comment je fais pour expliciter le det polynomial du machin :/

On te demande pas d'expliciter un t qui marche, on te demande si il existe un t

Tu as dit que det(R+tS) est un polynôme en t (c'est vrai)
Tu as dit qu'un polynôme a un nombre fini de racines (c'est presque vrai)

Si tu montres que det(R+tS) n'est pas le polynôme nul, comme il y a une infinité de nombres dans R, y'en a forcément un tel que det(R+tS) est non nul.

Et pour prouver que det(R+tS) n'est pas le polynôme nul ben ... hahaha... il faut trouver une valeur de t telle que det(R+tS) n'est pas nulle xD xD j'adore cet exo tellement on croit qu'on est dans une impasse mais en fait nan xD

par **Lostounet** » 28 Mai 2014, 23:29

Doraki a écrit:On te demande pas d'expliciter un t qui marche, on te demande si il existe un t

Tu as dit que det(Q+tR) est un polynôme en t (c'est vrai)
Tu as dit qu'un polynôme a un nombre fini de racines (c'est presque vrai)

Si tu montres que det(Q+tR) n'est pas le polynôme nul, comme il y a une infinité de nombres dans R, y'en a forcément un tel que det(Q+tR) est non nul.

Et pour prouver que det(Q+tR) n'est pas nul ben ... hahaha... il faut trouver une valeur de t telle que det(Q+tR) n'est pas nulle xD xD j'adore cet exo tellement on croit qu'on est dans une impasse mais en fait nan xD

C'est toujours comme ça, je crois voir des difficultés là où il n'y en a pas.

Mais par exemple, c'est quoi le coefficient constant de ce polynôme? Son coefficient dominant?
Même si c'est pas demandé...

ça dépend des coef des matrices de l'énoncé vous me direz ok. Mais si on me demandait pour quels t ce truc s'annule, je serais beaucoup moins malin...

par **jlb** » 28 Mai 2014, 23:31

relis l'énoncé, tu sais que P=... et det(P)est différent de 0, tu n'as plus qu'à rédiger .

par **Lostounet** » 28 Mai 2014, 23:34

Vous voulez dire que pour t = i le truc est non nul?

J'aimerais bien mais t est supposé réel !

par **Doraki** » 28 Mai 2014, 23:37

Oui et ? un polynôme réel a le droit d'être évalué en un nombre complexe.

Tu cherches un t réel pour lequelle det(..) est non nul.
Pour montrer que det(..) n'est pas le polynome nul il te faut un t pour lequel det(..) est non nul.

Si ton exemple de t était réel ben ça fait un raisonnement qui fait un énooorme détour.
Donc il te faut forcément un t qui n'est pas réel.
comme i.

(le coefficient constant de det(R+tS), ben c'est det(R), et son coefficient dominant, ben c'est det(S) !!!)

par **Lostounet** » 28 Mai 2014, 23:38

O_O

Donc pour montrer que mon polynôme qui est défini pour tout t réel, n'est pas identiquement nul... je l'évalue en t = i ?????

par **Doraki** » 28 Mai 2014, 23:39

C'est toute la farce de l'exercice.

A tout polynome est associé une fonction polynomiale.

Un polynome à coefficients réels, c'est aussi un polynome à coefficients complexes, donc t'as le droit de l'évaluer au nombre complexe de ton choix (ou à tout élément de toute R-algèbre de ton choix)

par **Lostounet** » 28 Mai 2014, 23:40

Mais alors mon polynôme il est de R dans R ou de C dans R (peut-être pas) ou de C dans C... ???

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