Matrices

[Archytas]

Salut,

Soit A alors où Jr est un bloc composé de la matrice identité en haut à gauche et pleins de 0 autour.

A quoi sert ce théorème ?

[Nightmare]

Salut,

le théorème dit qu'une matrice de rang r est modulo un changement de bases une matrice de la forme Jr

C'est une réduction fort pratique lorsque l'on travaille avec des choses stables par changements de bases.

[Archytas]

Salut,

le théorème dit qu'une matrice de rang r est modulo un changement de bases une matrice de la forme Jr

C'est une réduction fort pratique lorsque l'on travaille avec des choses stables par changements de bases.

D'accord, et comment l'applique-t-on ? Dans quelles circonstances est-il utile ? Et U et V on les détermine comment ?

[Doraki]

Ben imagine que (e1...en) et (f1...fp) soient deux bases adaptées à ce théorème.
Alors en regardant suffisemment longtemps la matrice de f dans ces deux bases, on se rend compte que :

la matrice dans ces deux bases est Jr
<=>
e(r+1) ... e(n) est une base quelconque de Ker f
f1 ... fr est une base quelconque de Im f
e1 ... er sont des antécédents quelconques de f1...fr
f(r+1) ... fp est une famille quelconque qui complète f1...fr en une base de R^p

[Archytas]

D'accord et donc les matrices U et V seraient des sortes de matrices de passage d'une base initiale à ces bases en question (e1..en) et (f1..fp) ?

[jlb]

A partir de ce résultat tu as facilement que GLn(R) est dense dans Mn(R): tu approches toute matrice par une suite de matrices diagonalisables modulo cette réduction ( tu prends autant de 1 sur la diagonale que le rang de ta matrice et tu complètes la diagonale par des 1/k,k naturel.

[Nightmare]

D'accord et donc les matrices U et V seraient des sortes de matrices de passage d'une base initiale à ces bases en question (e1..en) et (f1..fp) ?

C'est ça. Une matrice inversible c'est exactement une matrice de passage de toute manière.

[Archytas]

C'est ça. Une matrice inversible c'est exactement une matrice de passage de toute manière.

Très bien, merci à vous trois c'est plus clair :we: !