Matrices semblables

[le fouineur]

Bonjour à tous,

Par définition, deux matrices A et B ne sont pas semblables si leurs déterminants sont différents.
Mais inversement deux matrices C et D de même rang mais qui ne sont pas égales sont semblables si elles ont le même déterminant???

Merci d' avance pour vos réponses

Cordialement le fouineur

[le fouineur]

Merci Rain' pour ta réponse rapide,

Je ne suis pas d'accord avec ta réponse car les deux matrices que tu as données pour exemple sont de rang 2 (2 lignes et 2 colonnes)
Si ces deux matrices ne sont pas semblables,on ne peut pas trouver de matrice P (inversible) telle que: A=P*B*(P^-1),est-ce le cas ici?
En outre le déterminant de ces deux matrices est nul:j'aimerai que tu me trouve un contre exemple de rang 3 oû les deux déterminants ne soient pas nuls.

Cordialement le fouineur

[BQss]

Merci Rain' pour ta réponse rapide,

Je ne suis pas d'accord avec ta réponse car les deux matrices que tu as données pour exemple sont de rang 2 (2 lignes et 2 colonnes)
Si ces deux matrices ne sont pas semblables,on ne peut pas trouver de matrice P (inversible) telle que: A=P*B*(P^-1),est-ce le cas ici?
En outre le déterminant de ces deux matrices est nul:j'aimerai que tu me trouve un contre exemple de rang 3 oû les deux déterminants ne soient pas nuls.

Cordialement le fouineur

ne confond pas le rang avec la dimension , elles sont de rang 1.
On peut tres bien en trouver avec des determinants non nuls.

Regarde on peut meme prendre des matrices qui n'ont pas la meme dimension:
(1 0
0 1)

et
(1/2 0 0
0 2 0
0 0 1 )

[le fouineur]

Bonjour à tous,

Merci Rain' et BQss pour vos réponses

J' ai maintenant compris le sens de ta démonstration par le carré des matrices.Donc deux matrices de même format et de déterminants identiques ne sont pas en général semblables.

Cordialement le fouineur

[fahr451]

bonjour

deux matrices sont semblables ssi elles ont même forme de jordan

deux matrices sont semblables ssi elles représentent le même endomorphisme dans deux bases différentes.

[le fouineur]

Bonjour fahr451,

Bien vu pour la définition la plus simple de deux matrices semblables mais la réduction de Jordan d'une matrice n'est même pas de niveau MP.....
Comment faut-il procéder pour obtenir cette forme réduite d'une matrice de dimension {3,3} par exemple?


Merci de me répondre Cordialement le fouineur

[fahr451]

bonsoir

dans C
si diagonalisable la réduite est la matrice diagonale

si pas diagonalisable

avec deux valeurs propres distinctes la réduite est

en lignes (a,1,0) (0,a,0) ( 0,0,b)

avec une seule valeur propre

(a,1,0) (0,a,1) (0,0,a) si le sep est de dim 1

(a,0,0) (0,a,1) (0,0,a) si le sep est de dim 2

l

[le fouineur]

Bonjour fahr451,

J'aimerai prendre un exemple concret pour comprendre la marche à suivre pour obtenir une matrice réduite de Jordan.J'ai choisi pour ce faire l'exemple donné par Wikipedia,il est le suivant:

(322 -323 -323 322
325 -326 -325 326
-259 261 261 -260
-237 237 238 -237) et la matrice réduite de Jordan obtenue est:


(5 1 0 0
0 5 1 0
0 0 5 1
0 0 0 5)

S'il vous plait, détaillez moi les étapes à franchir pour arriver à ce résultat(toutes les opérations à partir de la forme initiale)

Merci d'avance pour les réponses

Cordialement le fouineur

[fahr451]

bonjour

je ne vais faire aucun calcul

mais compte tenu de la réduite gracieusement fournie

A admet 5 comme unique valeur propre (à toi d e le vérifier)

E(5) = ker (A -5I ) est de dim 1 ( idem)

(A-5I)^3 non nul et (A-5I)^4 nul (idem)

on prend X4 tel que (A-5I)^3 X4 non nul et on pose

X3 = (A-5I)X4 , X2 = (A-5I)X3 ,X1 = (A-5I) X2

la famille (X1,...,X4) est une base (idem)

la matrice ds cette base est clairement la réduite fournie.

[le fouineur]

Merci fahr451 pour ta réponse rapide,

J'ai calculé Dét(A-x*I)=x^4-20*x^3+150*x^2-500*x+625

La valeur propre de la matrice A est bien: x=5 qui est d'ordre 4 comme prévu...

J' ai calculé (A-5*I)^3 qui est bien non nul
(A-5*I)^4 qui est bien nul

O.K. tout va bien jusque là.Mais après je patauge....Comment choisir X1,X2,X3 et X4 (surtout X4)?? N'oublions pas que (A-5*I) est une matrice et non un nombre.

X1,X2,X3 et X4 représentent quoi dans le calcul?

Merci de me répondre Cordialement le fouineur

[fahr451]

j'ai identifié les matrices et les applications canoniquement associsées

pour être plus clair distinguons les

prenons E = R^4 B la base canonique de R^4


A est la matrice de f dans B

on a (f- 5id)^3 non nul

x(4) est un vecteur de R^4 donc un quadruplet de réels

on choisit x(4)tel que Im (f-5id)^3 (x4) non nul

ou plutôt on prend x(3) non nul dans Im(f-5id)^3
et x(4) un antécédent de x(3) par (f-5id)^3

[le fouineur]

Bonjour fahr451,

Cette fois ci j' ai bien compris la méthode de réduction à la forme de Jordan.J' ai pu y parvenir gràce à l'exemple que j'ai cité et gràce à tes explications:

J'ai posé:

J'ai calculé: (A-5*I)*v,[(A-5*I)^2]*v,[(A-5*I)^3]*v

Et j'ai construit une nouvelle matrice de passage notée J à l'aide des expressions précédemment calculées:



Puis j'ai calculé: J^-1 puis j'ai appliqué B=J^-1*A*J

Et j'ai obtenu:

Je suis très satisfait d'avoir compris ça alors que ça n'avait pas été abordé en cours parce que hors-programme.Encore merci pour tes explications et à bientot.

Cordialement le fouineur