Matrices semblables et réduites de Jordan

[Antho07]

comment démontre t-on que 2 matrices sont semblables si et seulement si elles ont la même réduite de Jordan. (le prof n'a pas eu le temps de faire la démo)

Il est évident que 2 matrices qui ont la meme réduite de Jordan sont semblables. LA reciproque, je n'en suis pas trop sur.

J'ai bien compris la construction de la base de Jordan qui s'appuie sur la réduction des endomorphismes nilpotents.
Le fait que si r est l'indice de nilpotence. ALors
0 C ker u C ker u² C...C ker u^r=E. (inclusions strictes).

il existe G1,G2..Gr tels que(pour tout i<=r)
Ker u^i=Ker u^(i-1) + Gi (somme directe)

u(Gi)C Gi-1

et u|Gi (restriction) est injective.

On construit la base et on utilise Jordan Dunford pour passer des endomorphismes nilpotents au cas général.



Est ce que pour montrer cette reciproque, il suffit de dire que :

comme A et B sont semblables alors deja, il est evident que leur réduite de Jordan possederont la meme diagonale (les valeurs propres).
En suite la dimensions des espaces propres nous donnent le nombre de blocs de Jordan pour chaque valeur propre. La taille du plus grand bloc nous ai donner par la multiplicité de la valeur propre dans le polynome minimal.
Reste les autres blocs:

Suffit t-il de dire que le nombre de bloc associe à la valeur propre L de taille k est:

rang(A-LIn)^(k-1)+rang(A-LIn)^(k+1)-2 rang(A-LIn)^k

et comme A et B sont semblables alors rg(A-LIn)^j=rg(B-LIn)^j quelque soit j.


Mon raisonnement est -il correct?


Edit: Meme réduite de Jordan a permutation des blocs pres bien sur

[ThSQ]

Il est évident que 2 matrices qui ont la meme réduite de Jordan sont semblables. LA reciproque, je n'en suis pas trop sur.

Deux matrices semblables à une troisième sont semblables elles zaussi.

[Antho07]

oui ça cela montre que 2 matrices qui ont la meme réduite de Jordan sont semblables puisqu'elle appartienne à la meme classe de similitude.

C'est la réciproque que je voudrais vérifier. c'est à dire que
Si 2 matrices sont semblables alors elle ont la meme réduite de Jordan a permutation des blocs pres