Matrices semblables, Jordan et Weierstrass ?

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lulu math discovering
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Matrices semblables, Jordan et Weierstrass ?

par lulu math discovering » 18 Mai 2017, 00:54

Bonjour, j'ai un DM sur les matrices dans lequel notre professeur nous demande entre autres de prouver que deux matrices (A et B) sont semblables, en trouvant une matrice M telle que :


Etant en mpsi, je ne connais pas les méthodes de 2ème année qui permettent de faire ce genre de calculs rapidement.
Parce qu'utiliser une méthode bourrin avec résolution de système, avec des matrices 3*3 c'est déjà drôle, mais alors avec une 7*7 !! (oui on doit faire le calcul avec une 7*7 à la fin)

Merci beaucoup pour votre aide.



Archytas
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Re: Matrices semblables, Jordan et Weierstrass ?

par Archytas » 18 Mai 2017, 01:09

Salut, si on a pas plus de détail c'est dur de trouver une méthode optimale... Elles ressemblent à quoi tes matrices ?
Une d'entre elles seraient pas diagonale ? Trigonale ?

lulu math discovering
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Re: Matrices semblables, Jordan et Weierstrass ?

par lulu math discovering » 18 Mai 2017, 11:41

Premièrement, on doit trouver une matrice M tel que


et

Là je trouve pas de spécificité à part que ces deux matrices se ressemblent beaucoup.

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zygomatique
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Re: Matrices semblables, Jordan et Weierstrass ?

par zygomatique » 18 Mai 2017, 11:52

salut

revenons à la définition (de matrices semblables) :

soit A la matrice de l'endomorphisme f dans la base (i, j, k) et B la matrice de f dans la base (u, v, w)

tu cherches donc une matrice M telle que BM = MA donc la matrice de passage de la base (i, j, k) à la base (u, v, w)

déjà on a simplement u = i

donc on cherche M =

1 0 0
a b c
d e f

on peut essayer de résoudre un système ...
Ce qui est affirmé sans preuve peut être nié sans preuve. EUCLIDE

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Re: Matrices semblables, Jordan et Weierstrass ?

par lulu math discovering » 18 Mai 2017, 12:16

Oui zygomatique je connais cette méthode mais il y a un problème : c'est un méthode très longue et fastidieuse.
Comme je l'ai dit plus haut, on devra aussi appliquer la méthode sur une matrice 7*7 :



et

mais il y a des questions intermédiaires pour celle-là et je verrais plus tard.

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Re: Matrices semblables, Jordan et Weierstrass ?

par lulu math discovering » 18 Mai 2017, 12:23

Une des nos meilleures pistes (on y travaille à plusieurs) c'est de trouver Ker(h) où


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Re: Matrices semblables, Jordan et Weierstrass ?

par Archytas » 18 Mai 2017, 12:33

Si ça t'aide tu peux même revenir aux définitions de base. Comme le dit zygomatique A et B vont être semblables si et seulement si A et B représentent la même transformation de R^3 mais exprimée dans des bases différentes. M représente alors juste la matrice de changement de base. Si on appelle, avec ses notations, (i,j,k) la base de départ et (u,v,w) celle dans laquelle l'endomorphisme s'écrirait B (si il existe).
On remarque dans un premier temps que A et B laissent vect(i) et vect(i,j) stables (*).
On pose alors u=i (on pourrait prendre u=2i ou 2,586i mais c'est moins commode).
D'après (*) on cherche v de la forme v=a.i+b.j sous la contrainte A.v=2v+u=2v+i=2a.i+2b.j+i=A(a.i+b.j)=2a.i+(4b.i+2b.j) ce qui donne un système pas trop compliqué.

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Re: Matrices semblables, Jordan et Weierstrass ?

par Archytas » 18 Mai 2017, 12:35

lulu math discovering a écrit:Une des nos meilleures pistes (on y travaille à plusieurs) c'est de trouver Ker(h) où


On veut que M soit inversible. Si tu prends ton espace de départ comme GL(R^3) tu n'as pas un morphisme. Si tu prends M_3(R) tu auras certainement des matrices non inversibles dans ton noyau, et je ne vois pas comment vous réussiriez mieux à calculer ce noyau que la méthode avec des systèmes compliqués.

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Re: Matrices semblables, Jordan et Weierstrass ?

par lulu math discovering » 18 Mai 2017, 12:38

oui j'ai oublié de préciser : on cherche un élément de Ker(h) inter GL(M_3(R))

Mais ça reste une idée assez mauvaise du fait qu'on doit quand même se taper l'image de la base canonique de M_3(R) pour en déduire Ker(h)

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zygomatique
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Re: Matrices semblables, Jordan et Weierstrass ?

par zygomatique » 18 Mai 2017, 12:48

certes ... mais sans outil supplémentaire ...

et tes matrices D et E sont des matrices blocs 4 + 3 donc M l'est aussi (ce me semble-t-il ...en considérant les sous-espaces stables)

quant à A et B elles sont triangulaires ... donc M l'est aussi

je ne pense pas que ta dernière méthode soit meilleure ...

raisonner en terme d'endomorphisme me semble le plus simple
Ce qui est affirmé sans preuve peut être nié sans preuve. EUCLIDE

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Re: Matrices semblables, Jordan et Weierstrass ?

par Archytas » 18 Mai 2017, 12:50

Je pense que tu trouveras pas mieux que les méthodes qu'on t'as exposé ici
En réduisant le nombre de variables grâce aux espaces stables par tes transformations c'est pas si compliqué
2a.i+2b.j+i=2a.i+(4b.i+2b.j) en se souvenant que i et j sont des vecteurs et que (i,j) est libre

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Re: Matrices semblables, Jordan et Weierstrass ?

par aviateur » 18 Mai 2017, 13:53

Bonjour
Les calculs ne sont pas fastidieux. En effet pour le premier exemple
on prend v1 vecteur propre de v.p=2. v_1=e_1.
Ensuite on choisit v2 solution de l'équation (A-2I)v2=v1. Puis (A-2I)v3=v2. Puis M=(v1|v2|v3) .

Pour l'exemple 2 idem. Comme l'a dit zygomatique on travaille par blocs.
Pour le premier blocs de taille 4, cela consiste à le diagonaliser. 1 est vp d'ordre 3, le sev propre est de dim 3.
et -2 est vp d'ordre.

Pour le deuxième blocs de taille 3. -2 est vp d'ordre 1 donc on calcule un vecteur propre correspond.

2 est v.p d'ordre 2 mais le sev propre est de dimension 1. J'appelle v_6 un vecteur propre.

Pour trouver v7 on fait comme dans l'exemple 1. on résout (A-2I)V7=V6 où j'ai appelé A le blocs correspond.

On reconstruit les matrice de taille 7 en mettant des blocs= 0 en dehors des blocs diagonaux.
J'espère que vous m'avez compris mais je suis sûr de moi

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Re: Matrices semblables, Jordan et Weierstrass ?

par lulu math discovering » 18 Mai 2017, 14:32

J'avoue avoir du mal à suivre.
Si tu pouvais expliciter tes notations par exemple ?
Et puis je ne sais pas diagonaliser une matrice.

Mais merci de votre réactivité.

aviateur
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Re: Matrices semblables, Jordan et Weierstrass ?

par aviateur » 18 Mai 2017, 16:47

Bonjour, pour expliquer c'est un peu long. Ce qui me gêne pour une explication c'est que tu dis ne pas savoir diagonaliser une matrice. En fait ton exercice concerne les réductions de Jordan d'une matrice comme d'ailleurs tu l'as indiqué dans le titre. Lorsqu'une matrice n'est pas diagonalisable (c'est à dire semblable) à une matrice diagonale on lui cherche une matrice semblable qui est triangulaire avec un maximum de 0 au dessus de la diagonale et quand on ne peut pas mettre de 0 on met un 1.
Tu dois voir que pour comprendre il faut au moins comprendre la diagonalisation. Je vais essayer malgré tout d'expliquer brièvement avec une matrice de taille 3.
D'abord avec l'exemple 1. si b=(e1,e2,e3) est la base canonique (base de départ où A est l'expression d'un endomorphisme f) et b'=(v1,v2,v3) base d'arrivée (base qui donne l'expression de f par la matrice B) alors
la matrice M=(v1|v2|v3) (plus souvent appelée P par ailleurs) est la matrice de passage de b à b' (matrice dont les colonnes sont les coordonnées de v_i exprimées dans la base b de départ) et il est connu que
B=M^(-1) A M.
Dans la pratique pour réduire une matrice (la diagonaliser où la réduire sous forme de Jordan) ont cherche les valeurs propres (vp)
et les vecteurs propres (vep). Si A était diagonalisable on devrait trouver 3 vecteurs propres formant une base et B serait la diagonale des vp.
Ici la démarche est inverse on donne B , il faut chercher b' c'est à dire M.
Dans l'exemple la réduite B n'est pas une diagonale mais une réduite de Jordan dans laquelle il y a des informations importantes. La diagonale de B ne contient que des 2. Donc A (mais B aussi ) n'a qu'une valeur propre d'ordre 3. Le sous-espace propre correspond ne peut être que de dim=1 . En effet la première colonne de B montrer que Bv_1= 2v1. (c'est à dire que (B-2I)v1=0) .
Maintenant ici on a aussi (A-2I)e1=0 donc on choisit v1=e1.
Pour la deuxième colonne de B on voit que Bv2=2v1+v2 ou je préfère (B-2I)v2=v1.
mais comme on cherche v2 dans la base b on résout l'équation (A-2I)v2=v1. Ily a une infinité de solution donc on choisit une expression de v2 avec un max de 0.
Pour v3 c'est comme pour v2 on cherche (A-2I)v3=v2.
Tu vois il n'y pas beaucoup de calculs pour avoir M. Bien sûr tu peux vérifier que B=M^(-1) B M

pour l'exemple 2 il faut travailler par blocs car A est diagonale par blocs mais le travail est presque semblable
à l'exemple.
là je n'ai plus le temps, je dois partir mais je peux compléter mes explications plus tard à moins que quelqu'un prenne le relais à ma place. De tout façon il faut avoir compris le 1 avant tout

 

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