Matrices: recherche de vecteurs propres

[tomtombreizh]

Bonjour à tous,

Je me prépare pour une épreuve de mathématiques pour un concours et je sèche lamentablement sur la recherche de vecteurs propres d'une matrice. Voici le sujet:

Diagonaliser la matrice A=
(12 -10 10)
( 6 -3 6)
(-12 10 -10)

On donnera la matrice de passage P associée à une base de vecteurs propres et la matrice diagonale correspondante.

Voici mon travail:

Recherche des valeurs propres: je cherche u de R / det(A-uI3)=0
Je trouve u={-3,0,2}.
(x)
Recherche des vecteurs propres: pour u fixé, je cherche un couple (x,y,z) / (A-uI3)(y)=0
(z)
On tombe alors sur la résolution de 3 systèmes:

Pour u1=-3

15x-10y+10z=0
6x+6y=0
-12x+10y-7z=0

Pour u2=0 je trouve v2=z(-5/4,-1/2,1)

Pour u3=2 je trouve v3=z(-1,0,1)

Pour le calcul de v1 je sèche complètement. J'ai un système de 3 équations à 3 inconnues dont une ligne n'a que 2 inconnues. J'ai tenté d'injecté "6x+6y=0 x=-y dans la première et la deuxième ligne du système mais le résultat n'est pas bon.

Pourriez-vous m'éclairer?

Bien sur on peut écrire v1=(0,0,0) mais cela n'est pas juste car un vecteur propre est non nul par définition. Et ça ne colle pas pour la suite de l'exercice...

Merci d'avance pour votre aide!

[Robic]

Bonjour ! Pour la valeur propre -3, j'ai le système suivant :
15x - 10y + 10z = 0
6x + 6z = 0 (et non pas 6x + 6y)
-12x + 10y -7z = 0

La ligne avec seulement 2 inconnues est bien pratique puisqu'elle est équivalente à z=-x, on va donc remplacer tous les z par des -x dans la 1ère et la 3ème :

15x - 10y - 10x = 0
z = -x
-12x + 10y +7x = 0

soit :

5x - 10y = 0
z = -x
-5x + 10y = 0

et je te laisse terminer...

[tomtombreizh]

Salut!

Quand on se prend la tête, mieux vaut laisser tomber 1h!

Merci pour ta réponse Effectivement, grosse étourderie de ma part...