ariel60 a écrit:Mais alors le système général des solutions n'est pas unique?
Oui.... et non...
Pour détailler ce que dit Kolis ci dessus :
- Déjà, le truc à bien comprendre, c'est que, si tu n'a pas de "conditions initiales" ou autre chose du même style, tu va avoir une infinité de solutions à ton système.
- Ensuite, quel que soit la méthode employée, ça sera
évidement et heureusement la même infinité de solutions que tu va trouver comme résultat.
- Enfin, comme toujours lorsque l'on doit "décrire" un ensemble infini, il y a plusieurs façons de le décrire.
Le cas le plus "concon" que tu doit
absolument connaitre, c'est par exemple celui d'un s.e.v. F : pour "décrire" F, on peut soit donner des équations de F et ces équations ne sont pas du tout uniques, soit donner une base de F et cette base n'est pas du tout unique non plus.
Dans le cas des équations différentielles, ce qu'on obtient, c'est une base (du système homogène) et cette base n'est pas unique du tout (et si on te donne deux familles libres, ben c'est pas trivial du tout de savoir si c'est des bases du même s.e.v.)
Par exemple, l'ensemble des fonctions de la forme x->y(x)=a.exp(x)+b.exp(-x) où a,b, sont des constantes arbitraires, c'est exactement le même que l'ensemble des fonctions de la forme x->y(x)=a'.Ch(x)+b'.Sh(x) où a',b' sont des constantes arbitraires.
Bref, si tu change de vecteurs propres dans ton truc va changer
la base du s.e.v. formé des fonctions vérifiant le système homogène, mais ça ne va évidement pas changer le s.e.v. lui même.
Et quand on fait les systèmes d'équa. diff., on passe pas des plombes à en parler vu que c'est sensé être déjà acquis la notion de base d'un s.e.v. (l'algèbre linéaire de base, on le fait forcément avant les systèmes d'équa.diff.)