Matrices diagonalisation

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doudours974
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Matrices diagonalisation

par doudours974 » 18 Avr 2018, 14:16

Bonjour,

Je sèche sur une question.

On me demande de trouver 2 matrices 2*2 telles que MN soit diagonalisable mais pas NM.

Des pistes de réflexion ?

Merci.



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Ben314
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Re: Matrices diagonalisation

par Ben314 » 18 Avr 2018, 16:34

Salut,
Si on pose (diagonalisable) alors, si était inversible on aurait et serait semblable à donc diagonalisable.
Donc est non inversible et, à un changement de base près, on a ou bien
Maintenant que c'est "dégrossi", prend une matrice quelconque et regarde ce que donnent les produits et dans les deux cas.
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius

doudours974
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Re: Matrices diagonalisation

par doudours974 » 18 Avr 2018, 21:35

Bonjour et merci pour les conseils

Du coup j'ai montré que si A et B sont de même taille telles que AB diagonalisable alors si A ou B inversible BA est diagonalisable.

Du coup pour trouver 2 matrices M et N de taille 2*2, je pose N et M non inversibles N=
et M=

Je calcule les polynômes caractéristiques de MN et NM.
MN diagonalisable si c'est une diagonale. C'est le cas pour a=c=0.

Le polynôme caractéristique de NM non diagonalisable.

Ton avis ?

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Ben314
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Re: Matrices diagonalisation

par Ben314 » 18 Avr 2018, 22:08

Mon avis :
déjà, ça :
doudours974 a écrit:Le polynôme caractéristique de NM non diagonalisable.
ça veut rien dire.
Et en plus de ne regarder QUE le polynôme caractéristique, ça permet pas de savoir si une matrice est diagonalisable ou pas. Par exemple les deux matrices et ont même polynôme caractéristique [ à savoir ] alors que la première est diagonalisable (car diagonale !!!) et la seconde ne l'est pas.

Si tu prend et alors :
(1) a pour valeur propres et et elle est diagonalisable ssi (deux valeurs propres distinctes) ou bien (0 est valeur propre double et le seul cas diagonalisable est la matrice entièrement nulle).
(2) a pour valeur propres et et elle non est diagonalisable ssi mais .
Et pour avoir les deux en même temps, ben il faut que ; ; .

En bref, et conviennent : et .
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius

doudours974
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Re: Matrices diagonalisation

par doudours974 » 19 Avr 2018, 10:24

Bonjour,

Oups, après 8h00 de maths j'ai écrit une énormité !!
Je suis d'accord que cela ne veut rien dire : on parle de matrice diagonalisable...

En fait en partant de MN, j'ai montré que pour c=a=0, MN est diagonale donc diagonalisable.
Puis comme a=c=0, le polynôme caractéristique de NM est égal à X^2 donc admet une valeur propre double égale à zéro. Comme NM n'est pas la matrice nulle (d différent zéro) alors elle ne peut être semblable à la valeur nulle donc NM n'est pas diagonalisable.

donc N= et M= , avec a, b et c différents zéro conviennent.

Merci pour ton aide. J'ai bien compris ta démarche.Je suis désolée mais je reprends les maths après 15 ans.... C'est loin

 

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