Matrices et diagonalisation

[Henry2095]

Bonjour, pouvez-vous m'aider à résoudre cet exercice s'il vous plaît?

Voici l'énoncé:
A=(1 -3 3
-1 -1 1
2 -2 2)

a) Sans calculer le polynôme caractéristique, montrer que 0 est valeur propre de A.
b) Montrer que A est diagonalisable en en déduire A(^n) pour n appartenant à N.

Pour a), j'ai une propriété dans mon cours qui dit que un scalaire est valeur propre de A ssi (A-;)Id) est non injective et dans ce cas, E(;))=ker(A-;)Id).
Donc ici, il existe (x,y,z) appartenant à E(0) équivaut à (A-0Id)(x,y,z)=(0,0,0) équivaut à A(x,y,z)=(0,0,0) équivaut au système: x-3y+3z=0, -x-y+z=0, 2x-2y+2z=0.
En résolvant ce système, j'obtiens x=0 et y=z.
Et ensuite, je pense qu'on a alors E(0)=(y(0,1,1), y appartenant à R)=Vect((0,1,1)) mais je n'en suis pas sûr et je ne sais pas ce qu'il faut faire après.

Merci d'avance pour votre aide.

[DamX]

Bonjour, pouvez-vous m'aider à résoudre cet exercice s'il vous plaît?

Voici l'énoncé:
A=(1 -3 3
-1 -1 1
2 -2 2)

a) Sans calculer le polynôme caractéristique, montrer que 0 est valeur propre de A.
b) Montrer que A est diagonalisable en en déduire A(^n) pour n appartenant à N.

Pour a), j'ai une propriété dans mon cours qui dit que un scalaire est valeur propre de A ssi (A-;)Id) est non injective et dans ce cas, E(;))=ker(A-;)Id).
Donc ici, il existe (x,y,z) appartenant à E(0) équivaut à (A-0Id)(x,y,z)=(0,0,0) équivaut à A(x,y,z)=(0,0,0) équivaut au système: x-3y+3z=0, -x-y+z=0, 2x-2y+2z=0.
En résolvant ce système, j'obtiens x=0 et y=z.
Et ensuite, je pense qu'on a alors E(0)=(y(0,1,1), y appartenant à R)=Vect((0,1,1)) mais je n'en suis pas sûr et je ne sais pas ce qu'il faut faire après.

Merci d'avance pour votre aide.

Bonjour,

Il y avait beaucoup plus simple pour la question a), mais ce que tu as fait servira plutôt dans la b) donc ce n'est pas inutile !

Dans la a) tout ce que tu dis est vrai, mais comment montrer avec un calcul direct (pas de système à résoudre) que 0 est valeur propre d'une matrice ?
Voire encore mieux sans calcul du tout, sur cet exemple on voit "visuellement" que 0 sera valeur propre, en montrant très facilement que l'endomorphisme associé n'est pas bijectif.

pour le b) je suppose qu'il faut faire la technique classique :
* trouver les valeurs propres (tu as déjà 0)
* trouver les vecteurs propres (comme tu as déjà fait pour 0)
* écrire la matrice de passage avec les vecteurs propres, calculer son inverse
* conclure et effectuer le calcul de A^n

[Henry2095]

Bonjour,

Il y avait beaucoup plus simple pour la question a), mais ce que tu as fait servira plutôt dans la b) donc ce n'est pas inutile !

Dans la a) tout ce que tu dis est vrai, mais comment montrer avec un calcul direct (pas de système à résoudre) que 0 est valeur propre d'une matrice ?
Voire encore mieux sans calcul du tout, sur cet exemple on voit "visuellement" que 0 sera valeur propre, en montrant très facilement que l'endomorphisme associé n'est pas bijectif.

pour le b) je suppose qu'il faut faire la technique classique :
* trouver les valeurs propres (tu as déjà 0)
* trouver les vecteurs propres (comme tu as déjà fait pour 0)
* écrire la matrice de passage avec les vecteurs propres, calculer son inverse
* conclure et effectuer le calcul de A^n

Je trouve que le polynôme caractéristique est P(X)=(-1-X)(X+1)(X-4) en factorisant, donc -1 et 4 sont les racines de P(X) et les valeurs propres de A.
Ensuite, en appliquant la même méthode que précedemment, je trouve les vecteurs propres (1,0, 1) pour 4 mais j'en trouve 2 à pour (-1) à savoir (1, 5/3,1) et (1, 2/5, 1) ce qui est étrange.
Ensuite je trouve la matrice de passage et en appliquant PX=Y, je trouve la matrice P(^-1).
P(^-1)=(-1 0 1
-3/2 -5/2 5/2
5/2 5/2 -5/2)
Mais en appliquant la formume P(^-1).A.P je ne trouve pas de matrice diagonale.

[DamX]

Je trouve que le polynôme caractéristique est P(X)=(-1-X)(X+1)(X-4) en factorisant, donc -1 et 4 sont les racines de P(X) et les valeurs propres de A.
Ensuite, en appliquant la même méthode que précedemment, je trouve les vecteurs propres (1,0, 1) pour 4 mais j'en trouve 2 à pour (-1) à savoir (1, 5/3,1) et (1, 2/5, 1) ce qui est étrange.
Ensuite je trouve la matrice de passage et en appliquant PX=Y, je trouve la matrice P(^-1).
P(^-1)=(-1 0 1
-3/2 -5/2 5/2
5/2 5/2 -5/2)
Mais en appliquant la formume P(^-1).A.P je ne trouve pas de matrice diagonale.

Sans faire les calculs, le polynôme écrit est forcément faux, puisque 0 n'est pas racine du polynôme alors qu'il est valeur propre.
Quant à trouver 3 vecteurs propres pour des valeurs propres non nulles, même problème, il doit y avoir des erreurs de calcul quelque part.

0 est de multiplicité 1 dans cette matrice, donc on doit trouver soit une autre valeur propre avec 2 vecteurs propres non liés, soit deux valeurs propres non nulles avec un seul vecteur propre associé.


Damien

[Henry2095]

Sans faire les calculs, le polynôme écrit est forcément faux, puisque 0 n'est pas racine du polynôme alors qu'il est valeur propre.
Quant à trouver 3 vecteurs propres pour des valeurs propres non nulles, même problème, il doit y avoir des erreurs de calcul quelque part.

0 est de multiplicité 1 dans cette matrice, donc on doit trouver soit une autre valeur propre avec 2 vecteurs propres non liés, soit deux valeurs propres non nulles avec un seul vecteur propre associé.


Damien

Mais le polynôme caractéristique est bien égal à p(X)=(1-X)(-1-X)(2-X)-3*2*(-1-X), non ?
Alors je ne vois pas trop comment factoriser...

[Henry2095]

Quelqu'un aurait-il une idée pour me débloquer s'il vous plaît?

[DamX]

Quelqu'un aurait-il une idée pour me débloquer s'il vous plaît?

Non le polynôme est faux ... 0 n'est pas racine du polynôme que tu écris.

Recommence tranquillement avec la règle de Sarrus pour calculer le déterminant et trouver le bon polynômen, tu as du faire une erreur sur le chemin. Quand ce sera fait, développe le au maximum au lieu de le laisser dans le genre de forme que tu proposes.
Tu verras alors que tu pourras factoriser par x, normal puisque 0 est valeur propre.
il ne restera plus qu'à calculer les deux racines du trinôme factorisé par x avec une résolution classique par calcul du discriminant pour trouver que les valeurs propres sont 0, 4 et -2.

Damien

[Henry2095]

Non le polynôme est faux ... 0 n'est pas racine du polynôme que tu écris.

Recommence tranquillement avec la règle de Sarrus pour calculer le déterminant et trouver le bon polynômen, tu as du faire une erreur sur le chemin. Quand ce sera fait, développe le au maximum au lieu de le laisser dans le genre de forme que tu proposes.
Tu verras alors que tu pourras factoriser par x, normal puisque 0 est valeur propre.
il ne restera plus qu'à calculer les deux racines du trinôme factorisé par x avec une résolution classique par calcul du discriminant pour trouver que les valeurs propres sont 0, 4 et -2.

Damien

Ah d'accord, je crois que j'ai compris mais je ne connais pas la règle de Sarrus...

[Robic]

Les calculs de déterminant sont des nids à erreurs de calcul... Pour les éviter, je préconise de séparer les calculs.

Ici, si on développe par rapport à la première colonne : P(X) = (1-X)A -(-1)B + 2C, où A, B, C sont des déterminants 2x2. Eh bien calculons-les séparément ! Ici par exemple on trouvera A = X²-X, B = 3X et C = 3X...

[Henry2095]

Les calculs de déterminant sont des nids à erreurs de calcul... Pour les éviter, je préconise de séparer les calculs.

Ici, si on développe par rapport à la première colonne : P(X) = (1-X)A -(-1)B + 2C, où A, B, C sont des déterminants 2x2. Eh bien calculons-les séparément ! Ici par exemple on trouvera A = X²-X, B = 3X et C = 3X...

Je trouve finalement que le polynôme caractéristique est: P(X)=-X^3+2X²+8X
Si 0 est valeur propre, alors on peut factoriser par X: P(X)=X(-X²+2X+8)=X(X-4)(X+2).
Donc, 4 et -2 sont des valeurs propres de la matrice.

Et pour la question a), je n'ai pas compris comment montrer sans calcul que 0 n'est pas valeur propre car comme E(0)=ker(A-0Id)= Vect{(0,1,1)} n'était pas égal à 0, je pensais que cela signifiait que (A-0Id) n'était pas injective...

[DamX]

Je trouve finalement que le polynôme caractéristique est: P(X)=-X^3+2X²+8X
Si 0 est valeur propre, alors on peut factoriser par X: P(X)=X(-X²+2X+8)=X(X-4)(X+2).
Donc, 4 et -2 sont des valeurs propres de la matrice.

Et pour la question a), je n'ai pas compris comment montrer sans calcul que 0 n'est pas valeur propre car comme E(0)=ker(A-0Id)= Vect{(0,1,1)} n'était pas égal à 0, je pensais que cela signifiait que (A-0Id) n'était pas injective...

Oui exactement, A-0Id non injective (ou plutôt non inversible, et l'endomorphisme associé à A est non injectif/bijectif).. c'est à dire A non inversible !

et pour montrer ça, la possibilité générale est de calculer le déterminant de A, si det(A) = 0, ça veut dire que A non inversible et que 0 est valeur propre (première méthode dont je parlais dans mon premier post).

Et dans ce cas particulier, il y a une autre façon encore plus simple sans calcul : si A n'est pas inversible, cela équivaut à dire que ses vecteurs colonnes sont liés. Or dans le cas de notre matrice A, ne peut-on pas dire juste en la regardant que les vecteurs colonnes sont liés ?

Damien

[Henry2095]

Oui exactement, A-0Id non injective (ou plutôt non inversible, et l'endomorphisme associé à A est non injectif/bijectif).. c'est à dire A non inversible !

et pour montrer ça, la possibilité générale est de calculer le déterminant de A, si det(A) = 0, ça veut dire que A non inversible et que 0 est valeur propre (première méthode dont je parlais dans mon premier post).

Et dans ce cas particulier, il y a une autre façon encore plus simple sans calcul : si A n'est pas inversible, cela équivaut à dire que ses vecteurs colonnes sont liés. Or dans le cas de notre matrice A, ne peut-on pas dire juste en la regardant que les vecteurs colonnes sont liés ?

Damien

Effectivement, u3=-u2. Donc, les vecteurs colonnes sont liés et la matrice n'est pas inversible. Donc, det(A)=0 et donc, 0 est valeur propre de la matrice A.