Matrices et développements limités

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guillaume100
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Matrices et développements limités

par guillaume100 » 14 Jan 2019, 23:49

Bonsoir,
Soit A une matrice de taille p x p, I la matrice identité et exp(A) l'exponentielle matricielle
Est-il possible d'utiliser les développements limités pour montrer que :

?

J'ai réussi à montrer cet exercice en utilisant le binôme de Newton, mais j'aimerais utiliser les développements limités pour le faire.
En règle générale, on peut faire des développements limités dans n'importe quel espace vectoriel (normé ?) non ?

C'est très utile pour les problèmes de limite en espaces vectoriels non ?



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Ben314
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Re: Matrices et développements limités

par Ben314 » 15 Jan 2019, 03:39

Salut,
Tu voudrait utiliser un D.L. certes, mais vu le contexte, c'est le D.L. de quelle fonction que tu veut utiliser ?

Parce que si ce que tu compte écrire c'est que puis utiliser un D.L. du log, ben faudrait peut-être commencer par définir ce que c'est que le logarithme d'une matrice, non ?

Tu as une idée de comment définir le log d'une matrice ?
de comment montrer que ?
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pascal16
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Re: Matrices et développements limités

par pascal16 » 15 Jan 2019, 10:43

J'ai réussi à montrer cet exercice en utilisant le binôme de Newton, mais j'aimerais utiliser les développements limités pour le faire.

Un polynôme est tout simplement égale à son DL à partir d'un certain rang.
Le point qu'on peut redémontrer, c'est que la partie de gauche converge bien.

[PS] : à n fixé, le DL du polynôme est exact et coïncide avec celui de exp, c'est à mon sens la convergence qui détermine si exp est bien définie.
Modifié en dernier par pascal16 le 15 Jan 2019, 16:15, modifié 1 fois.

aviateur
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Re: Matrices et développements limités

par aviateur » 15 Jan 2019, 13:52

Bjr
Si on suppose A diagonalisable (A matrice à valeurs dans C )
avec
alors


maintenant le Dl de

D'où
Démo qui ne résiste pas avec les blocs de Jordan d'une matrice non diagonalisable
Modifié en dernier par aviateur le 15 Jan 2019, 20:18, modifié 5 fois.

guillaume100
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Re: Matrices et développements limités

par guillaume100 » 15 Jan 2019, 15:33

Bonjour Ben314,

Je peux utiliser pour le log la série entière mais elle ne converge pas normalement pour n'importe quelle matrice, y'a pas un problème de continuité alors pour le DL ?

Pour montrer que M^n=exp(nln(M)), je peux montrer que exp composée avec ln vaut la matrice identité en posant le produit des deux séries.

Est-ce que à partir de ce moment les règles des DL sont les mêmes que pour ceux des fonctions continues et dérivables infiniment ?

Pour montrer que la partie de gauche converge bien j'utilise la formule du binôme de Newton et je majore le terme de la somme.

Puisque A est diagonalisable, on peut utiliser le critère de densité des matrices diagonalisables dans Mn(K) pour généraliser la propriété à toutes les matrices ? Et dans la décomposition de Jordan, I c'est une matrice diagonale ou la matrice identité ?

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Ben314
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Re: Matrices et développements limités

par Ben314 » 15 Jan 2019, 18:29

Je peux utiliser pour le log la série entière mais elle ne converge pas normalement pour n'importe quelle matrice, y'a pas un problème de continuité alors pour le DL ?
De définir le log matriciel pas , ça marche.
La série converge normalement pour les matrices telles que pour toute constante (avec n'importe quelle norme matricielle subordonnée, donc telle que ) donc c'est parfaitement continu au voisinage de .
Le seul inconvénient, c'est qu'avec "que ça" comme définition, ça ne permet de calculer que des log de matrices proche de , mais vu ce que tu compte en faire, c'est pas gênant.
Oui : tu peut faire le pr

Pour montrer que M^n=exp(nln(M)), je peux montrer que exp composée avec ln vaut la matrice identité en posant le produit des deux séries.
Oui.

Est-ce que à partir de ce moment les règles des DL sont les mêmes que pour ceux des fonctions continues et dérivables infiniment ?
Oui et non.
Là tu as deux façons de faire des D.L. : soit la façon "normale" pour des fonctions entre espaces vectoriels normés (sans plus) consistant à utiliser les différentielles successives de ta fonction qui donne des trucs du style

est une application linéaire de dans lui même et est une application bilinéaire de dans , est trilinéaire, etc . . .
Soit tu veut un truc qui ressemble plus au D.L. qu'on fait dans c'est à dire quelque chose du style

doit évidement être une matrice (éventuellement nulle comme dans le log çi dessus), mais c'est pas trop clair si les autres doivent être des réels ou des matrices.
Sauf que ce cas de figure, c'est plus que très très rare que tu l'ait, même avec des fonctions archi simples vu que même avec un bête polynôme tu peut pas écrire ce type de relation à cause de la non commutativité du produit matriciel : et, à moins que et commutent, tu ne peut pas "résumé" le à un simple quel qu'il soit.
Bref, sauf cas très très particulier, comme celui de l'exponentielle en 0 ou du logarithme en I, tu n'a pas de D.L. de cette forme là.

Pour montrer que la partie de gauche converge bien j'utilise la formule du binôme de Newton et je majore le terme de la somme.
J'ai pas compris s'il y avait une question là...

Puisque A est diagonalisable, on peut utiliser le critère de densité des matrices diagonalisables dans Mn(K) pour généraliser la propriété à toutes les matrices ? Et dans la décomposition de Jordan, I c'est une matrice diagonale ou la matrice identité ?
J'ai pas bien compris la question.
Sauf éventuellement le fait que, pour pouvoir faire de l'analyse (i.e. des limites et donc des sommes de séries), il faut que le corps de base ça soit ou et pas autre chose. Et que si on veut que les matrices diagonalisables soient dense dans l'ensemble des matrices, ben là il faut que vu que c'est faux dans .
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Re: Matrices et développements limités

par guillaume100 » 15 Jan 2019, 20:03

Merci beaucoup c'est plus clair,

C'est quoi la différenciation de A, on différencie par rapport à quoi, quelles variables? (y'a pas forcément de réels ou complexes).

En fait comment on différentie dans ce cas ?

Dans le cas de (A+H)^2, si on prend la fonction f qui à X associe X^2, c'est quoi la différenciation svp dans f(A+H)?

Pour la densité des matrices diagonalisables dans Mn(C) c'était pour comprendre comment @aviateur (que j'ai oublié de saluer et remercier) a fait pour montrer le résultat pour toute matrice à coefficients complexes.

Puisque c'est vrai pour toute matrice diagonalisable, et que n'importe qu'elle matrice est limite d'une suite de matrices diagonalisables, alors on l'a montré pour n'importe quelle matrice à coefficients complexes. Je sais qu'il y a une erreur dans ce raisonnement parce qu'il y a une double limite à justifier et quand le corps est R dans le DL il y a des complexes.

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Re: Matrices et développements limités

par Ben314 » 15 Jan 2019, 20:22

La différentiation, c'est un truc que tu verra plus tard et qui, justement permet de remplacer la notion de dérivée (donc celle de développement limités) dans le cas de fonction de plusieurs variables : peut-être as-tu déjà vu la notion de dérivées partielles qui est le "pendant calculatoire" de la notion de différentielle
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Re: Matrices et développements limités

par guillaume100 » 15 Jan 2019, 21:54

Les dérivées partielles ce sera traité en fin d'année, mais en physique je sais ce que c'est différencier (enfin je crois), c'est en gros dériver en fonction d'une variable et multiplier par "dx" quantité infinitésimale. Mais là je vois pas comment différencier une matrice, c'est ses composantes qu'on différentie ?

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Ben314
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Re: Matrices et développements limités

par Ben314 » 15 Jan 2019, 22:16

Dans un cas comme ici, c'est pas une matrice que tu différencie, mais une application matrice -> matrice comme l'exponentielle matricielle.
Et en terme de dérivées partielles, si tu est par exemple en dimension 2, l'application exponentielle peut s'écrire sous la forme où les différents sont des fonctions de donc tu peut calculer les dérivées partielles des fonctions par rapport aux variables . Et c'est l'ensemble de toutes ces dérivées partielles qui forment l'objet "théorique" appelé "différentielle de la fonction exponentielle"
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Re: Matrices et développements limités

par guillaume100 » 16 Jan 2019, 00:32

Merci beaucoup Ben314,

En gros il s'agit de déterminer y(i) en fonction des autres x(i) et de différencier si on connaît la fonction !

 

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