Matrices changement de bases etc

[lharmonica]

Bonjour.
Je voudrais plusieurs précisions sur des notions en algèbre lineaire svp.

1. Cela concerne les sous espaces vectoriels, je sais demontrer si un ensemble est un ss ev d'un autre espace, mais je ne comprends pas ce qu'il représente concrètement.

Par exemple : R^3 caractérisé par la base canonique ( (1,0,0);(0,1,0);(0,0,1) ). Est-ce que cette base est unique pour caractériser R^3, ou y-en a t'il une infinité ? Je dirais qu'il y a plusieurs bases, en imaginant le repère OIJK en trois dimensions, car on peut deplacer l'origine ou l'on veut dans l'espace...

A quelles propriétés obeit un sous espace vectoriel de R^3 ( dimension par exemple ). Combien de vecteurs sont necessaires pour caractériser un sous espace vectoriel de R^3, et combien y-en a t'il au minimum svp ?

Merci d'avance.

PS: Ces questions n'ont rien à voir avec le sujet de la discussion, mais j'en ai besoin pour pouvoir poser des questions sur les changement de bases, les endomorphisme, les noyaux, les images...

[emdro]

Oui, il y a une infinité de bases pour IR^3, mais pas pour la raison que tu évoques. Une base ne contient pas d'origine (tu confonds avec un repère).
En revanche tu peux faire "tourner" ta base dans tous les sens. Tu peux aussi a déformer (elle ne sera plus orthonormale)...

Va voir la discussion -longue- avec Blandine-, c'est en page 2 du forum supérieur. Tu vas y trouver des tas d'infos.

[emdro]

A quelles propriétés obeit un sous espace vectoriel de R^3 ( dimension par exemple ). Combien de vecteurs sont necessaires pour caractériser un sous espace vectoriel de R^3, et combien y-en a t'il au minimum svp ?

En gros, un sev de IR^3 doir être "DROIT" et "pouvoir se prolonger à l'INFINI".
Du coup, si tu as un vecteur non nul dedans, disons u tu dois avoir encore 2u, 3u, -5u dans le sous espace. Toute la droite (vectorielle) dirigée par u est donc incluse dans ton sev.

De deux choses l'une: soit tu as tout ton sev en faisant cela (c'est donc une droite), soit il y un vecteur v que tu n'as pas obtenu. Dans ce cas tu dois avoir encore 2v, -7v, c'est à dire toute a droite dirigée par v, mais encore u+v, .3u+5v.... tu te retrouves directo avec tout le plan dirigé par u et v.

De deux choses l'une: soit tu as tout ton sev en faisant cela (c'est donc un plan), soit il y un vecteur w que tu n'as pas obtenu. Dans ce dernier cas, tu vas obtenir tout l'espace.

Conclusion: un sev de IR^3 est
*{0} (dimension 0)
*une droite vectorielle (base: un vecteur, dimension 1)
*un plan vectoriel (base: deux vecteurs non colinéaires, dimension 2)
*l'espace entier(base: trois vecteurs non coplanaires, dimension 3)