Matrices, bases et vecteurs propres

[masterchief88]

Bonjour à tous, j'aurais besoin d'un peu d'aide concernant un exercice niveau sup, j'ai un peu ( voir beaucoup) de mal avec tout ce qui est base, famille,etc :mur: ...Si vous pouviez m'eclairez , ça sera sympa....

Soit f,l'endomorphisme de R² dont la matrice dans la base canonique B de R² est donnée par:

M=(2 1)
(1 2)

1)Montrer qu'il existe un vecteur u1€R²,non nul,tel que f(u1)=u1
Montrer................................u2€R²...........,tel que f(u2)=3.u2

2)Montrer que la famillle B'=(u1,u2) est une base de R²

3)Determiner la matrice M' de f dans la base B'

4)En déduire (M')^n puis M^n pour tout n€N

Merci d'avance. Masterchief88

[Taupin]

où est la question ? enfin tu as commencé non ?

[masterchief88]

Si mon prof nous avait expliqué comment résoudre une question du type 1), j'aurais pu commencer.... Je crois qu'il faut utiliser la notion de vecteur propre (enfin je sais pas trop) sauf que , pour l'instant du moins, on n'a jamais parlé de ça en cours... Voila :triste:

[Taupin]

c'est vrai !
envoye moi ton adresse msn par message privé

[Joker62]

Bon si t'as pas d'ami c'est ton problème Taupin !

Tu as la matrice de l'application f ( on va l'apeller A cette matrice )
L'image du vecteur u1 par f est un vecteur qui se calcule avec : A.u1

Pose u1=(x,y) et résoud A.u1 = u1

Le reste s'enchaîne facilement

[Taupin]

Ecoute la théorie de la diagonalisation d'une matrice ou même trigonalisation n'est pas si évidente mais si vous savez tout expliquer comme ça... je vous laisse le champ libre ;)

[Joker62]

On te demandais pas de nous sortir un cours d'algèbre...
Juste d'aider à répondre aux questions.

Un Taupin sait lire un énoncé j'imagine non ?

[Taupin]

oui, certainement mais lui dire comment résoudre simplement son exo n'est-il pas aussi magique que de balancer une formule ? Non je crois qu'il vaut mieux expliquer les grandes lignes de la théorie pour qu'il puisse l'appliquer... enfin bon je me casse, salut ^^

[Joker62]

La théorie il l'a déjà, puisqu'il suit un cours, j'pense pas que tu sois aussi prétentieux pour prétendre pouvoir mieux expliquer qu'un prof.
Enfin bref, faudrait songer à arrêter de croire que Card{ Dieu, Toi} = 1 xD

[Taupin]

Je n'ai pas dit que c'était compliqué, et c'est un exo de sup effectivement mais bon, dans ce cas, soit c'est simple et il le fait tout seul, soit il comprends ce qu'il fera de toute facon en spé et on lui explique la diagonalisation car son exo consiste clairement à diagonaliser ;)

[SimonB]

Et en prépa on est assez surbouqué pour avoir envie d'utiliser des méthodes qu'on est pas encore sencé savoir. Du moins la majorité des gens, surtout ceux qui demandent de l'aide.

+1. Il étudiera la théorie générale bien assez tôt et avec des professeurs bien assez compétents (plus en tous cas que des étudiants bac+2/3 que nous sommes tous, si je ne m'abuse, dans ce fil).

[guigui777]

Je pense que rain à raison, ne cherche pas à savoir diagonaliser maintenant c'est un peut tot j'pense...

1)Montrer qu'il existe un vecteur u1€R²,non nul,tel que f(u1)=u1
Montrer................................u2€R²...........,tel que f(u2)=3.u2

là tu cherche u1(x,y) tel que M(x,y)=(x,y)
c'est un système facile normalement...
pareil pour u2: M(x',y')=(x',y')

2)Montrer que la famillle B'=(u1,u2) est une base de R²

là tu prends les 2 vecteurs trouvés, et tu montres juste que la famille est libre, ie: si au1+bu2=0 a=0 et b=0

3)Determiner la matrice M' de f dans la base B'

tu utilise tes matrices de passage: tu écris les vecteurs u1 et u2 en fonction des vecteurs de la base canonique, en gros tu auras: P=(u1,u2)
tu calcules ensuite le produit : P^-1MP = M'

4)En déduire (M')^n puis M^n pour tout n€N

la tu essayes une recurrence (calcule M^1, M^2) (à moins que tu saches ce qu'est le polynome anulateur, là tu sauras quoi faire...) et ensuite tu déduis M^n avec tes matrices de passages! M'^n = PM^nP^-1...