Matrices et bases

[matthieu45]

Bonsoir,
dans un exercice on me demande de montrer qu'une base B' de R^n, est orthonormale (pour le produit scalaire usuel) ssi la matrice de passage de la base canonique à la base B' est orthogonale.
L'énoncé précise, que les matrices orthogonales sont les matrices vérifiant (t^P).P=In

avec t^P signifiant transposée de P.

Pourriez vous me donner quelques pistes sur ce problème ?
Merci d'avance.

[BQss]

Bonsoir,
dans un exercice on me demande de montrer qu'une base B' de R^n, est orthonormale (pour le produit scalaire usuel) ssi la matrice de passage de la base canonique à la base B' est orthogonale.
L'énoncé précise, que les matrices orthogonales sont les matrices vérifiant (t^P).P=In

avec t^P signifiant transposée de P.

Pourriez vous me donner quelques pistes sur ce problème ?
Merci d'avance.

Deux methodes, (j'appelle la matrice transposé Pt) et (ei) une base othonormale, la base canonique si tu veux):

Je te montre celle qui utilise les propriété de la transposée(il y en a une autre qui exprime le produit scalaire et la norme des differents vecteurs colonnes qui sont orthormaux par hypothese puis tu reconnais les coefficient de la matrice (At)A qui est alors a la matrice unité, ce qui permet de conclure que (At)A=I, reciproquement si la matrice (At)A vaut I en identifiant avec les coefficient de A et At on voit que les produits scalaire respectifs valent 0 et les normes 1 et que donc les vecteurs sont orthonormaux, je laisse le soin a d'autre de te la montrer):

Tu sais que si (Aei|Aej)=1 si i=j et 0 si i est different de j alors (Aei) forme une base orthonormé.

Supposons que AtA=I
Comme on a: (Aei|Aej)= par definition de la matrice transposée(par dualité).

on a:
c.a.d ===1 si i=j et 0 si i est different de j .
donc (Aei) est une base orthonormale.

La matrice A change donc une base orthonormale en une base orthonormale.
Donc si nous prenons des (ei) et que nous en faisons arbitrairement la base de depart de la matrice(on les prend orthonormaux), leur image respective (Aei) qui seront les vecteurs colonnes de la matrices dans cette meme base(c'est ainsi qu'est construite la matrice d'une application lineaire) des ei seront orthonormaux. Or dans une matrice de changement de base de b a b', les vecteurs colonnes sont les vecteurs de la base b' dans la base b, si on appelle b' la base des (Aei) et b la base des ei, tu vois donc que cette matrice est la matrice de changement de base de b' a b car les (Aei) sont les vecteurs colonnes de la matrice et qu'ils sont exprimé dans la base b.

Nous avons donc identifié cette matrice a une matrice de changement de base orthonormale, c'est celle qui permet de passer d'un vecteur exprimé dans la bse (Aei) à la base (ei), ie. la matrice de changement de base de (ei) à (Aei) .



Reciproquement si A est une matrice de changement de base orthonormale, mes vecteurs colonnes seront orthonormaux et exprimés dans une base ei orthonormale. L'expressions de ces vecteurs dans cette base etant Aei nous avons:
=1 si i=j et 0 si i est different de j
et donc =1 si i=j et 0 si i est different de j , mais comme
on sait que =1 si i=j et 0 si i est different de j, ce la implique que
= ce qui est equivalent a dire que (At)A=I (car l'application lineaire ej--> est bijective) .